Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pelas seguintes curvas:
y = x * e^x, y = 0 e x = 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar em torno do eixo dos a região delimitada pelas curvas , e . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrar a área dos discos formados pela rotação.

Passo 2

O método dos discos nos ajuda a calcular o volume de um sólido de revolução. A ideia é imaginar que a região que estamos girando é composta por muitos discos fininhos empilhados ao longo do eixo dos . A área de cada disco é , onde é a função que está sendo girada. Então, para encontrar o volume total, integramos essa área de até .

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração. A região está delimitada por e, como a curva cruza o eixo dos em (pois quando ), nossos limites de integração são de a .

Passo 4

Agora, montamos a integral para calcular o volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver a integral , vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como e . A fórmula de integração por partes é:
Primeiro, escolhemos e . Então, derivamos e integramos para encontrar e :
Aplicando a fórmula:
Agora, precisamos resolver novamente por integração por partes, escolhendo e .
Então:
Voltando à nossa expressão original:

Resposta

Finalmente, substituímos os limites de a na expressão integrada:
Calculando:
Para :
Para :
Então:
Portanto, o volume do sólido de revolução é:

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