Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região limitada pelas seguintes curvas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar em torno do eixo dos
a região delimitada pelas curvas
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrar a área dos discos formados pela rotação.
Passo 2
O método dos discos nos ajuda a calcular o volume de um sólido de revolução. A ideia é imaginar que a região que estamos girando é composta por muitos discos fininhos empilhados ao longo do eixo dos
. A área de cada disco é
, onde
é a função que está sendo girada. Então, para encontrar o volume total, integramos essa área de
até
.
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração. A região está delimitada por
e, como a curva
cruza o eixo dos
em
(pois
quando
), nossos limites de integração são de
a
.
Passo 4
Agora, montamos a integral para calcular o volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver a integral
, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como
e
. A fórmula de integração por partes é:
Primeiro, escolhemos
e
. Então, derivamos e integramos para encontrar
e
:
Aplicando a fórmula:
Agora, precisamos resolver
novamente por integração por partes, escolhendo
e
.
Então:
Voltando à nossa expressão original:
Resposta
Finalmente, substituímos os limites de
a
na expressão integrada:
Calculando:
Para
:
Para
:
Então:
Portanto, o volume do sólido de revolução é: