Encontre o comprimento do arco dado pela curva y=raizx^3, 0 <= x <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva y = raizx^3 no intervalo de x = 0 até x = 4 . Para isso, vamos usar o cálculo de comprimentos de arcos, que envolve derivadas e integrais. Basicamente, vamos medir quão “comprida” é essa curva entre esses dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função y = f(x) entre x = a e x = b . A fórmula é:
L = integrala^b raiz1 + ( dydx )^2 , dx
Aqui, dydx é a derivada da função y em relação a x , e a integral vai nos dar o comprimento total do arco entre a e b .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de y = raizx^3 . Primeiro, podemos reescrever essa função para facilitar a derivação:
y = x^32
A derivada de y em relação a x é:
dydx = 32 x^12

Passo 4

Vamos substituir dydx na fórmula do comprimento do arco:
L = integral0^4 raiz1 + ( 32 x^12 )^2 , dx
Simplificando a expressão dentro da raiz:
( 32 x^12 )^2 = 94 x
Então, a integral fica:
L = integral0^4 raiz1 + 94 x , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral integral raiz1 + 94 x , dx . Para simplificar, podemos fazer uma substituição:
Seja u = 1 + 94 x , então du = 94 dx ou dx = 49 du .
Substituindo na integral:
L = integral raizu cdot 49 du = 49 integral u^12 du
Integrando u^12 :
integral u^12 du = 23 u^32 + C
Então,
L = 49 cdot 23 u^32 |u(0)^u(4) = 827 [ u^32 ]u=1^u=1 + 94 cdot 4
Calculando os limites:
Para x = 0 :
u = 1 + 94 cdot 0 = 1
Para x = 4 :
u = 1 + 94 cdot 4 = 1 + 9 = 10
Então,
L = 827 ( 10^32 - 1^32 ) = 827 ( raiz10^3 - 1 ) = 827 ( raiz1000 - 1 )
Sabemos que raiz1000 = 10raiz10 , então:
L = 827 (10raiz10 - 1)

Resposta

O comprimento do arco da curva y = raizx^3 entre x = 0 e x = 4 é:
L = 827 ( 10raiz10 - 1 ) approx 9,62 unidades

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