Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva no intervalo de até . Para isso, vamos usar o cálculo de comprimentos de arcos, que envolve derivadas e integrais. Basicamente, vamos medir quão “comprida” é essa curva entre esses dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função entre e . A fórmula é:
Aqui, é a derivada da função em relação a , e a integral vai nos dar o comprimento total do arco entre e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de . Primeiro, podemos reescrever essa função para facilitar a derivação:
A derivada de em relação a é:
Passo 4
Vamos substituir na fórmula do comprimento do arco:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral . Para simplificar, podemos fazer uma substituição: