Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x , da região limitada pelas seguintes curvas:
y=x+1, x=0, x=2, y=0

Passo 1

O enunciado nos pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região limitada por
;y=x+1,;x=0,;x=2,;y=0.
O conteúdo é “volume de revolução por método dos discos”, que exige calcular a área de cada seção perpendicular ao eixo x e integrar.

Passo 2

Para um valor fixo de xin[0,2], a região vai de y=0 até y=x+1. Girando em torno do eixo x, formam-se discos de raio
R(x)=x+1
A área de cada disco é
A(x)=pil[R(x)r]^2=pi,(x+1)^2

Passo 3

O volume total é a integral das áreas de x=0 até x=2:
V=integral0^2A(x),dx =integral0^2pi,(x+1)^2,dx

Passo 4

Primeiro expandimos e integramos a parte sem o pi:
integral0^2(x+1)^2,dx =integral0^2(x^2+2x+1),dx =l[tfracx^33+x^2+xr]0^2 =tfrac83+4+2 =tfrac263
Multiplicando por pi, obtemos
V=picdottfrac263=tfrac26pi3

Resposta

26pi3

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