Determine o volume do tronco de cone obtido por revolução em torno do eixo y gerado pelo segmento de reta de extremos A(1,2) e B(6,5).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y o segmento de reta que liga A(1,2) a B(6,5). Esse sólido é um tronco de cone, e podemos usar o método dos discos: expressar o raio em função de y e calcular
V = pi integraly=2^5 l[x(y)r]^2,dy

Passo 2

A reta que passa por A(1,2) e B(6,5) tem coeficiente angular
m=6-15-2=53,
logo sua equação em função de y é
x(y)=53(y-2)+1 =53,y-73

Passo 3

Em consequência,
l[x(y)r]^2 =l(53,y-73r)^2 =19l(25y^2-70y+49r),
e o volume torna-se
V =piintegral2^519l(25y^2-70y+49r),dy =pi9integral2^5(25y^2-70y+49),dy

Passo 4

Calculamos a antiderivada
F(y)=integral(25y^2-70y+49),dy =253y^3-35y^2+49y
Logo
V =pi9l[F(5)-F(2)r]

Passo 5

Avaliação em y=5 e y=2:
F(5)=253cdot125-35cdot25+49cdot5 =31253-875+245=12353,
F(2)=253cdot8-35cdot4+49cdot2 =2003-140+98=743
Então
F(5)-F(2)=12353-743=11613,
e
V =pi9cdot11613 =1161pi27 =43pi

Resposta

V = 43pi

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