Determine o volume do sólido de revolução em torno do eixo x definido pelo gráfico de f(x)=4-x^2, na região em que -2 <= x <= 2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelo gráfico de f(x)=4 - x^2 para -2 <= x <= 2. Esse é um caso clássico de método dos discos, onde cada seção perpendicular ao eixo x é um círculo de raio f(x).

Passo 2

Pelo método dos discos, o volume é dado por
V = integralx=-2^2 pil[f(x)r]^2,dx
ou seja
V = pi integral-2^2 l(4 - x^2r)^2,dx

Passo 3

Expandimos o quadrado do polinômio:
l(4 - x^2r)^2 = 16 - 8x^2 + x^4
Então
V = pi integral-2^2 l(16 - 8x^2 + x^4r),dx

Passo 4

Calculamos a integral de cada termo:
integral l(16 - 8x^2 + x^4r),dx = 16x - 8,x^33 + x^55 + C

Passo 5

Avaliando de -2 a 2:
l[16x - tfrac8x^33 + tfracx^55r]-2^2 = l(256/15r) - l(-256/15r) = 51215
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V = pi cdot 51215 = 512pi15

Resposta

V = 512pi15

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