Utilize coordenadas polares para determinar os limites (Dica: note que se ( r, theta ) são as coordenadas polares do ponto (x, y)
& x=r cos (theta) & y=r sen(theta) , r >= 0, theta in[0,2 pi)
então r 0+ quando (x, y) (0,0), pois x^2+y^2= r^2):
lim (x, y) (0,0)(x^2+y^2) ln (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0)l(x^2+y^2r),lnl(x^2+y^2r)
e sugere usar coordenadas polares, pois ao aproximar (x,y) de (0,0) fazemos rto0+.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = rcos(theta), y = rsin(theta),
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x^2+y^2 = r^2
Substituindo na função,
l(x^2+y^2r)lnl(x^2+y^2r) = r^2,lnl(r^2r)

Passo 3

Usamos a identidade ln(r^2)=2ln r, daí
r^2,lnl(r^2r) = 2,r^2ln r

Passo 4

Basta notar o fato clássico de análise de uma variável: se definirmos t=r^2, então tto0+ quando rto0+ e
tln t ;xrightarrowtto0+;0
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2,r^2ln r = 2,(r^2ln r) = 2l(tfrac12tln tr) ;xrightarrowrto0+;0

Resposta

0

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