Obtenha e esboce o domínio D_{f} de f(x, y) e utilizando as regras dedrivação usuais calcule f_{y}(x, y) em D_{f}, onde
f(x, y)=\frac{x+y}{\sqrt{y^{2}-x}}

Passo 1

O enunciado nos pede o domínio D_{f} e a derivada parcial em relação a y, ou seja, f_{y}(x,y), da função
f(x,y)=\frac{x+y}{\sqrt{y^{2}-x}}.
O conteúdo necessário envolve (1) determinar domínio de uma função de duas variáveis com raiz quadrada no denominador e (2) aplicar regras usuais de derivação parcial (regra do produto e regra da cadeia).

Passo 2

Para o domínio, exigimos que o radicando seja não negativo e o denominador não nulo. Logo,
y^{2}-x>0.
Isto dá
D_{f}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x<y^{2}\}.
Esboçando, a fronteira é a parábola x=y^{2} e o domínio é toda a região estritamente à esquerda dessa parábola.

Passo 3

Escrevemos
f(x,y)=(x+y)\,(y^{2}-x)^{-\tfrac12}
e aplicamos
f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(x+y)\cdot(y^{2}-x)^{-\tfrac12}+(x+y)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}-x)^{-\tfrac12}.
Aqui \partial_{y}(x+y)=1 e, pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}-x)^{-\tfrac12} =-\tfrac12\,(y^{2}-x)^{-\tfrac32}\cdot2y =-y\,(y^{2}-x)^{-\tfrac32}.
Logo,
f_{y}=(y^{2}-x)^{-\tfrac12}-y(x+y)\,(y^{2}-x)^{-\tfrac32}.

Passo 4

Fatorando (y^{2}-x)^{-\tfrac32} ficamos com
f_{y} =\frac{(y^{2}-x)-y(x+y)}{(y^{2}-x)^{\tfrac32}} =\frac{y^{2}-x-yx-y^{2}}{(y^{2}-x)^{\tfrac32}} =-\frac{x(1+y)}{(y^{2}-x)^{\tfrac32}}.

Resposta

O domínio é
D_{f}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x<y^{2}\},
e a derivada parcial em relação a y é
f_{y}(x,y) =-\frac{x(1+y)}{(y^{2}-x)^{\tfrac32}}, \quad (x,y)\in D_{f}.

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