Nesta questão o objetivo é resolver o problema de valor inicial das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem do tipo separável listadas abaixo.
d yd x=-y x, y(x0)=y0,,

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO separável
dydx = -,y,x
com condição inicial y(x0) = y0. Vamos usar o método de separação de variáveis e integrar para encontrar a solução geral e depois ajustar pela condição inicial.

Passo 2

Separemos as variáveis para termos todos os y de um lado e os x de outro:
1y,dy = -,x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral -,x,dx
lnlvert yrvert = -x^22 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolamos y:
lvert yrvert = e^-x^22 + C = e^C,e^-x^22
Como buscamos uma solução contínua, escrevemos
y = A,e^-x^22,
com A = e^C.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(x0) = y0:
y0 = A,e^-x0^22 Longrightarrow A = y0,e^x0^22

Passo 6

Substituindo A na expressão de y, obtemos a solução particular:
y(x) = y0,e^x0^22;e^-x^22 = y0,exp!l(-tfracx^2-x0^22r)

Resposta

y(x) = y0,exp!l(-tfracx^2-x0^22r)

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