Questão 4) Considere a função
g(x, y)= 5 y^5 x^42 x^2+2 y^2 & ,(x, y) neq(0,0) pi & ,(x, y)=(0,0)
a) Verifique se existe o limite da função g(x, y) para (x, y) (0,0).
b) Verifique se g(x, y) é contínua em (0,0). Escreva a conclusão com todos os passos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função g(x, y) definida de duas maneiras diferentes: uma para qualquer ponto (x, y) que não seja (0,0) e outra especificamente para (0,0). O que a gente precisa fazer aqui é verificar duas coisas:
a) Se o limite da função g(x, y) existe quando (x, y) se aproxima de (0,0).
b) Se a função g(x, y) é contínua nesse ponto (0,0).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em várias variáveis e continuidade de funções. Vamos passo a passo para não ficar nenhuma dúvida!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir nesse contexto. Quando a gente fala que o limite de g(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) existe, quer dizer que, não importa por qual caminho a gente chegue perto de (0,0), o valor da função vai se aproximar de um número específico.
Então, para verificar se o limite existe, uma boa estratégia é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se todos dão o mesmo resultado.

Passo 3

Vamos calcular o limite de g(x, y) quando (x, y) (0,0).
A função para (x, y) neq (0,0) é:
g(x, y) = 5 y^5 x^42 x^2 + 2 y^2
Vamos simplificar isso um pouco. Podemos fatorar o denominador:
g(x, y) = 5 y^5 x^42(x^2 + y^2)
Agora, vamos escolher alguns caminhos para (x, y) se aproximando de (0,0):
Caminho 1: y = 0
Substituindo y = 0 na função:
g(x, 0) = 5 cdot 0^5 cdot x^42(x^2 + 0^2) = 0
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.

Passo 4

Caminho 2: x = 0
Substituindo x = 0 na função:
g(0, y) = 5 y^5 cdot 0^42(0^2 + y^2) = 0
Novamente, o limite é 0.

Passo 5

Caminho 3: y = kx , onde k é uma constante.
Substituindo y = kx :
g(x, kx) = 5 (kx)^5 x^42(x^2 + (kx)^2) = 5 k^5 x^92x^2(1 + k^2) = 5 k^5 x^72(1 + k^2)
Agora, ao tomar o limite quando x 0 :
limx to 0 5 k^5 x^72(1 + k^2) = 0
Então, novamente, o limite é 0.

Passo 6

Vimos que ao longo de diferentes caminhos ( y = 0 , x = 0 , y = kx ), o limite da função g(x, y) é 0. Isso sugere que o limite lim(x, y) to (0,0) g(x, y) é 0.

Passo 7

Agora, vamos verificar a continuidade da função em (0,0).
Para uma função ser contínua em um ponto, o limite quando se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
lim(x, y) to (0,0) g(x, y) = g(0,0)
Do item a), vimos que o limite é 0. Mas olhando a definição da função:
g(0,0) = pi
Então, temos que 0 (limite) não é igual a pi (valor da função).

Resposta

a) O limite de g(x, y) quando (x, y) (0,0) existe e é igual a 0.
b) A função g(x, y) não é contínua em (0,0) porque o limite (0) não coincide com o valor da função nesse ponto ( pi).

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