a) Verifique se existe o limite da função g(x, y) para (x, y) (0,0).
b) Verifique se g(x, y) é contínua em (0,0). Escreva a conclusão com todos os passos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função g(x, y) definida de duas maneiras diferentes: uma para qualquer ponto (x, y) que não seja (0,0) e outra especificamente para (0,0). O que a gente precisa fazer aqui é verificar duas coisas:
a) Se o limite da função g(x, y) existe quando (x, y) se aproxima de (0,0).
b) Se a função g(x, y) é contínua nesse ponto (0,0).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em várias variáveis e continuidade de funções. Vamos passo a passo para não ficar nenhuma dúvida!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir nesse contexto. Quando a gente fala que o limite de g(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) existe, quer dizer que, não importa por qual caminho a gente chegue perto de (0,0), o valor da função vai se aproximar de um número específico.
Então, para verificar se o limite existe, uma boa estratégia é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se todos dão o mesmo resultado.
Passo 3
Vamos calcular o limite de g(x, y) quando (x, y) (0,0).
A função para (x, y) neq (0,0) é:
g(x, y) = 5 y^5 x^42 x^2 + 2 y^2
Vamos simplificar isso um pouco. Podemos fatorar o denominador:
g(x, y) = 5 y^5 x^42(x^2 + y^2)
Agora, vamos escolher alguns caminhos para (x, y) se aproximando de (0,0):
Vimos que ao longo de diferentes caminhos ( y = 0 , x = 0 , y = kx ), o limite da função g(x, y) é 0. Isso sugere que o limite lim(x, y) to (0,0) g(x, y) é 0.
Passo 7
Agora, vamos verificar a continuidade da função em (0,0).
Para uma função ser contínua em um ponto, o limite quando se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
lim(x, y) to (0,0) g(x, y) = g(0,0)
Do item a), vimos que o limite é 0. Mas olhando a definição da função:
g(0,0) = pi
Então, temos que 0 (limite) não é igual a pi (valor da função).
Resposta
a) O limite de g(x, y) quando (x, y) (0,0) existe e é igual a 0.
b) A função g(x, y) não é contínua em (0,0) porque o limite (0) não coincide com o valor da função nesse ponto (pi).