Determine o volume do tetraedro de arestas AB, AC e AD, e vértices A(1,1,1), B(2,0,3), C(4,1,7) e D(3,-1,-2).

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro com vértice A e arestas AB, AC e AD. Em geometria analítica, usamos o produto misto para obter o volume:
V = 16l|det[AB,AC,AD]r| = 16l|ABcdot(ACtimesAD)r|

Passo 2

Calcular os vetores a partir das coordenadas de A(1,1,1), B(2,0,3), C(4,1,7) e D(3,-1,-2):
AB = (2-1,,0-1,,3-1) = (1,-1,2),
AC = (4-1,,1-1,,7-1) = (3,0,6),
AD = (3-1,,-1-1,,-2-1) = (2,-2,-3)

Passo 3

Calcular o produto vetorial ACtimesAD:
ACtimesAD = i & j & k 3 & 0 & 6 2 & -2 & -3 = l(0cdot(-3)-6cdot(-2),,-(3cdot(-3)-6cdot2),,3cdot(-2)-0cdot2r) = (12,,21,,-6)

Passo 4

Calcular o produto escalar ABcdot(ACtimesAD):
(1,-1,2)cdot(12,21,-6) = 1cdot12 + (-1)cdot21 + 2cdot(-6) = 12 - 21 - 12 = -21

Passo 5

Aplicar a fórmula do volume:
V = 16l|ABcdot(ACtimesAD)r| = 16l|-21r| = 216 = 72

Resposta

O volume do tetraedro é tfrac72.

Exercícios relacionados