Mostre que o conjunto é uma base de . Quais são as coordenadas de e em relação a .
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
é uma base de , ou seja, que esses vetores são linearmente independentes e geram todo . Em seguida, precisamos expressar e como combinações lineares dos vetores de , encontrando suas coordenadas em relação a . Para mostrar independência e geração, vamos calcular o determinante da matriz formada por esses vetores como colunas.
Como det(A)=-3neq0, concluímos que os vetores são linearmente independentes e, por serem três vetores em R^3, também geram todo o espaço. Logo, beta é uma base.
Passo 3
Para achar as coordenadas de
o que gera o sistema
Da segunda equação vem . Substituindo na primeira:
Passo 4
Para
que leva a
Da segunda equação . Na primeira:
Resposta
beta é base de R^3 pois det(A)=-3neq0. (x)beta=(tfrac13,-tfrac13,tfrac13) (y)beta=(2,-1,-1)