Mostre que o conjunto beta=(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1) é uma base de R^3. Quais são as coordenadas de x=(1,0,0) e y=(2,1,3) em relação a beta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
beta=(1,1,1),,(-1,1,0),,(1,0,-1)
é uma base de R^3, ou seja, que esses vetores são linearmente independentes e geram todo R^3. Em seguida, precisamos expressar
,x=(1,0,0) e y=(2,1,3) como combinações lineares dos vetores de beta, encontrando suas coordenadas em relação a beta. Para mostrar independência e geração, vamos calcular o determinante da matriz formada por esses vetores como colunas.

Passo 2

Formamos a matriz
A = 1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 ,
cuja determinante é
det(A) =1cdotl(1cdot(-1)-0cdot0r) ;-;(-1)cdotl(1cdot(-1)-0cdot1r) ;+;1cdotl(1cdot0-1cdot1r) =-1-1-1=-3
Como det(A)=-3neq0, concluímos que os vetores são linearmente independentes e, por serem três vetores em R^3, também geram todo o espaço. Logo, beta é uma base.

Passo 3

Para achar as coordenadas de
o que gera o sistema
Da segunda equação vem . Substituindo na primeira:

Passo 4

Para
que leva a
Da segunda equação . Na primeira:

Resposta

beta é base de R^3 pois det(A)=-3neq0.
(x)beta=(tfrac13,-tfrac13,tfrac13)
(y)beta=(2,-1,-1)

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