Determine o volume do tetraedro de vértices A=(0,0,0), B=(3,2,1), C=(2,5,3) e D=(2,3,6). resp.: V=47 / 6
Passo 1
O enunciado pede o volume do tetraedro com vértices A=(0,0,0), B=(3,2,1), C=(2,5,3) e D=(2,3,6).\n
Informações dadas: \;A=(0,0,0), \;B=(3,2,1), \;C=(2,5,3), \;D=(2,3,6).\n
Pergunta: determinar o volume V do tetraedro com esses quatro vértices.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática passo a passo):\n
Se você pegar três arestas que saem de um mesmo vértice (por exemplo, \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}), elas geram um paralelepípedo. O volume desse paralelepípedo é dado pelo valor absoluto do produto misto (produto escalar triplo) das três arestas:
Vou explicar cada coisa: \vec{AC}\times\vec{AD} é o produto vetorial entre \vec{AC} e \vec{AD}; o resultado é um vetor perpendicular ao plano formado por \vec{AC} e \vec{AD} cujo comprimento é a área do paralelogramo gerado por \vec{AC} e \vec{AD}. Em seguida, \vec{AB}\cdot(\cdot) projeta \vec{AB} nessa direção e multiplica pela área, dando o volume do paralelepípedo.\n
O volume do tetraedro formado por essas três arestas (saindo do mesmo vértice) é exatamente \dfrac{1}{6} do volume do paralelepípedo. Geometricamente, um paralelepípedo formado por três vetores a partir de um vértice pode ser dividido em 6 tetraedros congruentes, por isso o fator \dfrac{1}{6}.\n
Em prática de cálculo, o produto misto é igual ao determinante da matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas dos vetores:
Calcular o determinante de M. Vou usar a expansão pela primeira linha (regra de Sarrus ou desenvolvimento por co-fatores dá o mesmo resultado). A expansão pela primeira linha é: