Determine o volume do tetraedro de vértices A=(0,0,0), B=(3,2,1), C=(2,5,3) e D=(2,3,6). resp.: V=47 / 6

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro com vértices A=(0,0,0), B=(3,2,1), C=(2,5,3) e D=(2,3,6).\n
Informações dadas:
\;A=(0,0,0), \;B=(3,2,1), \;C=(2,5,3), \;D=(2,3,6).\n
Pergunta: determinar o volume V do tetraedro com esses quatro vértices.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática passo a passo):\n
  • Se você pegar três arestas que saem de um mesmo vértice (por exemplo, \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}), elas geram um paralelepípedo. O volume desse paralelepípedo é dado pelo valor absoluto do produto misto (produto escalar triplo) das três arestas:
\text{Vol}_{\text{paral}} = \left|\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})\right|.
Vou explicar cada coisa: \vec{AC}\times\vec{AD} é o produto vetorial entre \vec{AC} e \vec{AD}; o resultado é um vetor perpendicular ao plano formado por \vec{AC} e \vec{AD} cujo comprimento é a área do paralelogramo gerado por \vec{AC} e \vec{AD}. Em seguida, \vec{AB}\cdot(\cdot) projeta \vec{AB} nessa direção e multiplica pela área, dando o volume do paralelepípedo.\n
  • O volume do tetraedro formado por essas três arestas (saindo do mesmo vértice) é exatamente \dfrac{1}{6} do volume do paralelepípedo. Geometricamente, um paralelepípedo formado por três vetores a partir de um vértice pode ser dividido em 6 tetraedros congruentes, por isso o fator \dfrac{1}{6}.\n
  • Em prática de cálculo, o produto misto é igual ao determinante da matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas dos vetores:
\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})=\det\begin{pmatrix} \text{coord}(\vec{AB})\\[2pt] \text{coord}(\vec{AC})\\[2pt] \text{coord}(\vec{AD}) \end{pmatrix}.
Então usaremos a fórmula final:
V=\frac{1}{6}\left|\det\begin{pmatrix} \text{coord}(\vec{AB})\\[2pt] \text{coord}(\vec{AC})\\[2pt] \text{coord}(\vec{AD}) \end{pmatrix}\right|.]

Passo 3

Calcular os vetores \vec{AB}, \vec{AC} e \vec{AD}.\n
Como A=(0,0,0), subtrair A é trivial, então:
\vec{AB}=B-A=(3,2,1),
\vec{AC}=C-A=(2,5,3),
\vec{AD}=D-A=(2,3,6).
Escrevendo-os como linhas da matriz que vamos usar:
M=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 5 & 3\\[4pt] 2 & 3 & 6 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular o determinante de M. Vou usar a expansão pela primeira linha (regra de Sarrus ou desenvolvimento por co-fatores dá o mesmo resultado). A expansão pela primeira linha é:
\det(M)=3\cdot\det\begin{pmatrix}5 & 3\\[4pt]3 & 6\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]2 & 6\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix}.
Agora calculamos cada determinante 2\times2 (lembre que \det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc).]

Passo 5

Calcular os menores 2\times2 e combinar:\n
Primeiro menor:
\det\begin{pmatrix}5 & 3\\[4pt]3 & 6\end{pmatrix}=5\cdot6-3\cdot3=30-9=21.
Segundo menor:
\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]2 & 6\end{pmatrix}=2\cdot6-3\cdot2=12-6=6.
Terceiro menor:
\det\begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix}=2\cdot3-5\cdot2=6-10=-4.
Substituindo na expansão:
\det(M)=3\cdot21-2\cdot6+1\cdot(-4)=63-12-4=47.]

Passo 6

Volume do tetraedro: aplicar a fórmula V=\dfrac{1}{6}\left|\det(M)\right|. Como \det(M)=47 e é positivo, temos
V=\frac{1}{6}\cdot 47=\frac{47}{6}.

Resposta

\;V=\dfrac{47}{6}

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