Prove a seguinte sentença: Seja f monótona crescente em (a, b). Então existe f(x+) e f(x-) em cada ponto x in(a, b). Mais precisamente,
sup a<t<x f(t)=f(x-) <= f(x) <= f(x+)=inf x<t<b

Passo 1

O enunciado diz que f é monótona crescente em (a,b) e pede para mostrar que, em todo xin(a,b), existem os limites laterais
f(x-)=limtto x^-f(t) e f(x+)=limtto x^+) f(t),
e que eles podem ser escritos como
supa<t<xf(t)=f(x-)<= f(x)<= f(x+)=infx<t<bf(t)
O conteúdo principal é usar a monotonicidade para ver que as restrições de f a (a,x) e (x,b) são conjuntos não vazios e limitados, aplicar a completude de R para garantir existência de supremo e ínfimo, e finalmente verificar que esses valores são de fato os limites laterais.

Passo 2

Defina
L=supa<t<xf(t)
Como f é crescente, para todo t<x vale f(t)<= f(x). Logo f(x) é uma cota superior de f(t):a<t<x. Pela completude de R, esse conjunto não vazio (basta escolher t entre a e x) e limitado acima tem supremo L. Em particular
L<= f(x)

Passo 3

Mostremos que limtto x^-f(t)=L. Dado varepsilon>0, por definição de supremo existe t0in(a,x) tal que
f(t0)>L-varepsilon
Como f é crescente, para todo t com t0<= t<x temos
f(t)>= f(t0)>L-varepsilon
Isso mostra que sempre que x-t<de<a=x-t0 temos lvert f(t)-Lrvert<varepsilon (pois também f(t)<= L). Logo
limtto x^-f(t)=L,
isto é, f(x-)=L.

Passo 4

De modo análogo, defina
M=infx<t<bf(t)
Como f é crescente, para todo t>x vale f(t)>= f(x), então f(x) é cota inferior do conjunto f(t):x<t<b. Pela completude, esse conjunto não vazio e limitado abaixo tem ínfimo M. Em particular
f(x)<= M

Passo 5

Mostramos que limtto x^+f(t)=M. Dado varepsilon>0, por definição de ínfimo existe t1in(x,b) tal que
f(t1)<M+varepsilon
Como f é crescente, para todo t com x<t<= t1 temos
f(t)<= f(t1)<M+varepsilon
Logo, ao escolher de<a=t1-x, sempre que 0<t-x<de<a temos lvert f(t)-Mrvert<varepsilon, isto é,
limtto x^+f(t)=M,
ou seja, f(x+)=M.

Resposta

f(x-)=supa<t<xf(t)<= f(x)<=infx<t<bf(t)=f(x+)

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