Prove a seguinte sentença: Seja
monótona crescente em
. Então existe
e
em cada ponto
. Mais precisamente,
Passo 1
O enunciado diz que
é monótona crescente em
e pede para mostrar que, em todo
, existem os limites laterais
e que eles podem ser escritos como
O conteúdo principal é usar a monotonicidade para ver que as restrições de
a
e
são conjuntos não vazios e limitados, aplicar a completude de
para garantir existência de supremo e ínfimo, e finalmente verificar que esses valores são de fato os limites laterais.
Passo 2
Defina
Como
é crescente, para todo
vale
. Logo
é uma cota superior de
. Pela completude de
, esse conjunto não vazio (basta escolher
entre
e
) e limitado acima tem supremo
. Em particular
Passo 3
Mostremos que
. Dado
, por definição de supremo existe
tal que
Como
é crescente, para todo
com
temos
Isso mostra que sempre que
temos
(pois também
). Logo
isto é,
.
Passo 4
De modo análogo, defina
Como
é crescente, para todo
vale
, então
é cota inferior do conjunto
. Pela completude, esse conjunto não vazio e limitado abaixo tem ínfimo
. Em particular
Passo 5
Mostramos que
. Dado
, por definição de ínfimo existe
tal que
Como
é crescente, para todo
com
temos
Logo, ao escolher
, sempre que
temos
, isto é,
ou seja,
.