Questão 9 [sof-1]. Qual das seguintes alternativas representa a solução geral da equação diferencial
t y^prime prime+(4 t-1) y^prime+(4 t-2) y=0 ?
y(t)=c1 t e^-2 t+c2 e^-2 t.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
t,y''+(4t-1),y'+(4t-2),y=0
e pergunta qual é a solução geral. O conteúdo é resolução de EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis; vamos usar a transformação de função-fator exponencial.

Passo 2

Fazemos o ansatz
y(t)=u(t),e^-2t
Calculamos
y' = u',e^-2t-2u,e^-2t=e^-2t(u'-2u),
y'' = ddtl[e^-2t(u'-2u)r] =e^-2t(u''-2u'-2u'+4u) =e^-2t(u''-4u'+4u)

Passo 3

Substituindo em
t,y''+(4t-1),y'+(4t-2),y=0
e dividindo por e^-2t obtemos
tl(u''-4u'+4ur)+(4t-1)(u'-2u)+(4t-2)u=0
Agrupando termos em u'',u',u nota-se que os coeficientes de u se cancelam e sobra
t,u''-u'=0

Passo 4

A equação para u é
t,u''-u'=0 Longrightarrow u''=u't
Chamando v=u', temos v'/v = 1/t, logo
v = C1,t Longrightarrow u'=C1,t Longrightarrow u=C1,t^22+C2

Passo 5

Substituindo em y(t)=u(t),e^-2t vem
y(t)=l(C1t^22+C2r)e^-2t =C1',t^2e^-2t+C2,e^-2t,
onde renomeamos C1'=C1/2.

Resposta

A solução geral é
y(t)=C1,t^2e^-2t+C2,e^-2t

Exercícios relacionados