Determine os volumes dos sólidos nos exercícios 3-12.
O sólido situa-se entre planos perpendiculares ao eixo x em x=-1 e x=1. As seções transversais perpendiculares ao eixo x são círculos cujos diâmetros se estendem da curva à curva y=-1/raiz1+x^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido cujo eixo varia de x=-1 a x=1 e cujas seções transversais perpendiculares ao eixo x são círculos. Cada diâmetro vai de
ytopo=1raiz1+x^2
até
yfundo=-1raiz1+x^2
O método a usar é o dos “sólidos de base conhecida”: calcular a área da seção em cada x e integrar ao longo de x.

Passo 2

Para cada x, o diâmetro é
D(x)=ytopo-yfundo =1raiz1+x^2 - gl(-1raiz1+x^2gr) =2raiz1+x^2
Logo o raio é
R(x)=D(x)2 =1raiz1+x^2

Passo 3

A área da seção circular em função de x é
A(x)=pil[R(x)r]^2 =pi11+x^2

Passo 4

O volume do sólido é dado pela integral
V=integral-1^1A(x),dx =piintegral-1^111+x^2,dx

Passo 5

Como
integral11+x^2,dx=arctan(x),
temos
V =pil[arctan(x)r]-1^1 =pil(arctan(1)-arctan(-1)r) =pil(tfracpi4-(-tfracpi4)r) =pi^22

Resposta

V = pi^22

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