Marque V para verdadeiro ou F para falso. Justifique as alternativas falsas com um contraexemplo.
Toda sequência monótona é convergente.

Passo 1

O enunciado pergunta se “toda sequência monótona é convergente”. O conteúdo aqui é análise de sequências numéricas, em particular o Teorema da Convergência Monótona, que exige monotonicidade e limitação para garantir convergência.

Passo 2

O Teorema da Convergência Monótona diz que “toda sequência que seja monotonicamente crescente e limitada superiormente converge a um limite finito” (e análogo para sequências decrescentes limitadas inferiormente). Note que a hipótese de limitação é essencial: sem ela, uma sequência monótona pode divergir para infinito.

Passo 3

Como contraexemplo, considere a sequência
an = n
Ela é monotonicamente crescente, pois an+1-an = 1>0, mas
limntoinftyan = +infty,
logo não converge em R. Isso mostra que nem toda sequência monótona é convergente.

Resposta

F

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