Determine os volumes dos sólidos obtidos pelas rotações, em torno do eixo
, das regiões:
Passo 1
O enunciado define a região
e pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
.
Para isso, usamos o método dos discos (washers):
o volume é
e pede o volume do sólido obtido ao girar
Para isso, usamos o método dos discos (washers):
o volume é
onde
e
são, respectivamente, as fronteiras superior e inferior de
.
Passo 2
Precisamos achar para que valores de
vale cada fronteira superior, que é
, e sempre
.
- Se
, ou seja , então . - Se
, ou seja , então .
Além disso, como
, vemos que
varia de
a
.
Portanto dividimos a integral em
Portanto dividimos a integral em
Passo 3
Calcular
Fazendo a integral:
então
Passo 4
Calcular
Integrando:
logo
Passo 5
O volume total é