Determine os volumes dos sólidos obtidos pelas rotações, em torno do eixo O x, das regiões:
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x>0, y \leq 1 \mathrm{e} 1 / x \leq y \leq 4 / x^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado define a região
\displaystyle A=\{(x,y)\colon x>0,\;y\le1\text{ e }1/x\le y\le4/x^2\}
e pede o volume do sólido obtido ao girar A em torno do eixo O x.
Para isso, usamos o método dos discos (washers):
o volume é
V=\pi\int_{x_{\min}}^{x_{\max}}\bigl(y_{\rm sup}^2(x)-y_{\rm inf}^2(x)\bigr)\,dx,
onde y_{\rm sup}(x) e y_{\rm inf}(x) são, respectivamente, as fronteiras superior e inferior de A.

Passo 2

Precisamos achar para que valores de x vale cada fronteira superior, que é \min(1,4/x^2), e sempre y_{\rm inf}=1/x.
  1. Se 4/x^2>1, ou seja x<2, então y_{\rm sup}(x)=1.
  2. Se 4/x^2\le1, ou seja x\ge2, então y_{\rm sup}(x)=4/x^2.
Além disso, como 1/x\le y_{\rm sup}(x), vemos que x varia de 1 a 4.
Portanto dividimos a integral em
\begin{cases} x\in[1,2]: & y_{\rm sup}=1,\;y_{\rm inf}=1/x,\\\ x\in[2,4]: & y_{\rm sup}=4/x^2,\;y_{\rm inf}=1/x. \end{cases}

Passo 3

Calcular
V_1=\pi\int_{1}^{2}\bigl(1^2-(1/x)^2\bigr)\,dx =\pi\int_{1}^{2}\Bigl(1-\frac1{x^2}\Bigr)\,dx.
Fazendo a integral:
\int\Bigl(1-\frac1{x^2}\Bigr)dx =x+\frac1{x},
então
V_1 =\pi\Bigl[(x+\tfrac1{x})\Bigr]_{1}^{2} =\pi\Bigl((2+\tfrac12)-(1+1)\Bigr) =\pi\Bigl(\tfrac52-2\Bigr) =\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Calcular
V_2=\pi\int_{2}^{4}\Bigl((4/x^2)^2-(1/x)^2\Bigr)\,dx =\pi\int_{2}^{4}\Bigl(\frac{16}{x^4}-\frac1{x^2}\Bigr)\,dx.
Integrando:
\int\Bigl(\frac{16}{x^4}-\frac1{x^2}\Bigr)dx =-\frac{16}{3x^3}+\frac1{x},
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V_2 =\pi\Bigl[\!-\tfrac{16}{3x^3}+\tfrac1{x}\Bigr]_{2}^{4} =\pi\Bigl(\tfrac16-(-\tfrac16)\Bigr) =\frac{\pi}{3}.

Passo 5

O volume total é
V=V_1+V_2 =\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3} =\frac{5\pi}{6}.

Resposta

\displaystyle V=\frac{5\pi}{6}.

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