- Esboce a região
e calcule a sua área:
a)
e
b)
e
- Calcule a área da região do plano limitada pela elipse de equação
, onde
.
- Calcule a área da região delimitada pela curva
e por sua reta tangente no ponto
.
- Determine
para que a área da região delimitada pelas curvas
e
e pela reta
seja igual a 4 .
a)
b)
Passo 1
O enunciado traz cinco itens de áreas de regiões planas:
- 2a) região
delimitada por três parábolas; - 2b) região
delimitada por duas parábolas e uma reta; -
- região interior à elipse
;
- região interior à elipse
-
- região entre
e sua reta tangente em ;
- região entre
-
- região limitada por
, e , com área igual a 4, determinando .
- região limitada por
O conteúdo principal é configurar integrais definidas para cada área e, quando cabível, usar a fórmula direta de áreas conhecidas. A seguir, resolvemos cada item passo a passo.
Passo 2
(Item 2a)
A região é
A região é
- Determinar onde qual das duas parábolas superiores é mínima:
– Resolver!: Para , tem , então ali o teto é .
Para, é o teto. - Determinar os limites de
em que estas parábolas estão acima de .
– Em, tanto quanto são .
Fora desse intervalo a região some. - Logo, a área é
Calculemos cada integral.
Para :
Para
Para
:
Somando,
Passo 3
(Item 2b)
A região é
A região é
- Encontrar onde
!:
Para
, a função
é maior; fora desse subintervalo,
domina.
2. As interseções com a reta são:
– dá
.
– dá
.
A região fechada vai de até
.
3. Dividimos em
2. As interseções com a reta
–
–
A região fechada vai de
3. Dividimos em
No primeiro trecho o integrando é
; no segundo é
.
Cálculos rápidos mostram
Cálculos rápidos mostram
Somando,
Passo 4
(Item 3)
A área interior à elipse
A área interior à elipse
é bem conhecida como
Passo 5
(Item 4)
Temos . A derivada é
. Em
:
Temos
A reta tangente é
Os pontos de interseção resolvem
raízes
(multiplicidade 2) e
.
A área entre as curvas de a
é
A área entre as curvas de
Um cálculo rápido dá
Portanto
Passo 6
(Item 5)
A região é limitada por ,
e
.
Observa-se que estas três curvas se intersectam em , em
(reta com
) e em
(reta com
). O domínio em
vai de
a
, e a fronteira superior muda em
. Assim a área é
A região é limitada por
Observa-se que estas três curvas se intersectam em
Calculemos:
Logo a área total é
Impondo que seja igual a
:
Resposta
2a)
2b)
3)
4)
5)
2b)
3)
4)
5)