1. Esboce a região A e calcule a sua área:
    a) A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y \geq x^{2}-4, y \leq 12-3 x^{2}\right. e \left.y \leq 3 x^{2}+12 x+12\right\}
    b) A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y \geq x^{2}-1, y \leq x+1\right. e \left.y \geq-x^{2}-3 x-2\right\}
  2. Calcule a área da região do plano limitada pela elipse de equação \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, onde a, b>0.
  3. Calcule a área da região delimitada pela curva y=x^{3}-x e por sua reta tangente no ponto (-1,0).
  4. Determine m>0 para que a área da região delimitada pelas curvas y=x^{2} e y=\frac{x^{2}}{2} e pela reta y=m x seja igual a 4 .

Passo 1

O enunciado traz cinco itens de áreas de regiões planas:
  • 2a) região A delimitada por três parábolas;
  • 2b) região A delimitada por duas parábolas e uma reta;
    1. região interior à elipse \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1;
    1. região entre y=f(x)=x^3-x e sua reta tangente em (-1,0);
    1. região limitada por y=x^2, y=\tfrac{x^2}{2} e y=mx, com área igual a 4, determinando m>0.
O conteúdo principal é configurar integrais definidas para cada área e, quando cabível, usar a fórmula direta de áreas conhecidas. A seguir, resolvemos cada item passo a passo.

Passo 2

(Item 2a)
A região é
A=\bigl\{(x,y)\mid x^2-4\le y\le \min\{\,12-3x^2,\;3x^2+12x+12\}\bigr\}.
  1. Determinar onde qual das duas parábolas superiores é mínima:
    – Resolver 12-3x^2=3x^2+12x+12!: 12-3x^2=3x^2+12x+12 \;\Longrightarrow\; 6x^2+12x=0 \;\Longrightarrow\; x(x+2)=0 \;\Longrightarrow\; x=0,\;-2.Para x\in[-2,0], tem 3x^2+12x+12\le12-3x^2, então ali o teto é y=3x^2+12x+12.
    Para x\in[0,2], é 12-3x^2 o teto.
  2. Determinar os limites de x em que estas parábolas estão acima de y=x^2-4.
    – Em [-2,2], tanto 12-3x^2 quanto 3x^2+12x+12 são \ge x^2-4.
    Fora desse intervalo a região some.
  3. Logo, a área é
\int_{-2}^{0}\Bigl[(3x^2+12x+12)-(x^2-4)\Bigr]\,dx + \int_{0}^{2}\Bigl[(12-3x^2)-(x^2-4)\Bigr]\,dx.
Calculemos cada integral.
Para x\in[-2,0]:
3x^2+12x+12-(x^2-4)=2x^2+12x+16,
\int_{-2}^{0}(2x^2+12x+16)\,dx =\Bigl[\tfrac{2}{3}x^3+6x^2+16x\Bigr]_{-2}^{0} =0-\bigl(-\tfrac{40}{3}\bigr) =\tfrac{40}{3}.
Para x\in[0,2]:
12-3x^2-(x^2-4)=16-4x^2,
\int_{0}^{2}(16-4x^2)\,dx =\Bigl[16x-\tfrac{4}{3}x^3\Bigr]_{0}^{2} = \bigl(32-\tfrac{32}{3}\bigr)-0 =\tfrac{64}{3}.
Somando,
\text{Área}_{2a} =\tfrac{40}{3}+\tfrac{64}{3} =\tfrac{104}{3}.Á

Passo 3

(Item 2b)
A região é
A=\bigl\{(x,y)\mid y\ge\max\{x^2-1,\,-x^2-3x-2\},\;y\le x+1\bigr\}.
  1. Encontrar onde x^2-1=-x^2-3x-2!:
2x^2+3x+1=0 \;\Longrightarrow\; x=-1,\;-{\tfrac12}.
Para x\in[-1,-\tfrac12], a função -x^2-3x-2 é maior; fora desse subintervalo, x^2-1 domina.
2. As interseções com a reta y=x+1 são:
x^2-1=x+1 x=-1,2.
-x^2-3x-2=x+1 x=-1,-3.
A região fechada vai de x=-1 até x=2.
3. Dividimos em
\int_{-1}^{-1/2}\bigl[(x+1)-(-x^2-3x-2)\bigr]\,dx \;+\; \int_{-1/2}^{2}\bigl[(x+1)-(x^2-1)\bigr]\,dx.
No primeiro trecho o integrando é x^2+4x+3; no segundo é -x^2+x+2.
Cálculos rápidos mostram
\int_{-1}^{-1/2}(x^2+4x+3)\,dx =\tfrac{7}{24}, \quad \int_{-1/2}^{2}(-x^2+x+2)\,dx =\tfrac{25}{6}.
Somando,
\text{Área}_{2b} =\tfrac{7}{24}+\tfrac{25}{6} =\tfrac{7}{24}+\tfrac{100}{24} =\tfrac{107}{24}.Á

Passo 4

(Item 3)
A área interior à elipse
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
é bem conhecida como
\boxed{\text{Área}_{3}=\pi\,a\,b.}Á

Passo 5

(Item 4)
Temos f(x)=x^3-x. A derivada é f'(x)=3x^2-1. Em x=-1:
f(-1)=(-1)^3-(-1)=0, \quad f'(-1)=3-1=2.
A reta tangente é
y-0=2\,(x+1) \;\Longrightarrow\; y=2x+2.
Os pontos de interseção resolvem
x^3-x=2x+2 \;\Longrightarrow\; x^3-3x-2=0 \;\Longrightarrow\; (x+1)^2(x-2)=0,
raízes x=-1 (multiplicidade 2) e x=2.
A área entre as curvas de x=-1 a x=2 é
\int_{-1}^{2}\bigl[(2x+2)-(x^3-x)\bigr]\,dx =\int_{-1}^{2}(-x^3+3x+2)\,dx.
Um cálculo rápido dá
\Bigl[-\tfrac{x^4}{4}+\tfrac{3x^2}{2}+2x\Bigr]_{-1}^{2} =6-\Bigl(-\tfrac{3}{4}\Bigr) =\tfrac{27}{4}.
Portanto
\boxed{\text{Área}_{4}=\frac{27}{4}.}Á

Passo 6

(Item 5)
A região é limitada por y_1=x^2, y_2=\tfrac{x^2}{2} e y_3=mx.
Observa-se que estas três curvas se intersectam em (0,0), em (m,m^2) (reta com x^2) e em (2m,2m^2) (reta com x^2/2). O domínio em x vai de 0 a 2m, e a fronteira superior muda em x=m. Assim a área é
\int_{0}^{m}\bigl[x^2 - \tfrac{x^2}{2}\bigr]\,dx \;+\; \int_{m}^{2m}\bigl[m\,x - \tfrac{x^2}{2}\bigr]\,dx.
Calculemos:
\int_{0}^{m}\frac{x^2}{2}\,dx =\frac{m^3}{6}, \quad \int_{m}^{2m}\Bigl(m x-\tfrac{x^2}{2}\Bigr)\,dx =\frac{m^3}{3}.
Logo a área total é
\frac{m^3}{6}+\frac{m^3}{3} =\frac{m^3}{2}.
Impondo que seja igual a 4:
\frac{m^3}{2}=4 \;\Longrightarrow\; m^3=8 \;\Longrightarrow\; \boxed{m=2.}

Resposta

2a) \displaystyle \tfrac{104}{3}
2b) \displaystyle \tfrac{107}{24}
3) \displaystyle \pi\,a\,b
4) \displaystyle \tfrac{27}{4}
5) \displaystyle m=2

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