Seja f:] 0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R} uma função derivável até segunda ordem. Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando.
a) Se \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=m, então f admite assíntota para x \rightarrow+\infty com coeficiente angular m.
b) Se y=m x+n é assíntota de f para x \rightarrow+\infty, então \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=m.
c) Se y=m x+n é assíntota de f para x \rightarrow+\infty e se \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=L, então m=L.

Passo 1

O enunciado considera uma função f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, duas vezes derivável, e pede para decidir se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve o conceito de assíntota oblíqua em +\infty, isto é, reta y=mx+n tal que
\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-(m x+n)\bigr)=0,
e o comportamento de f'(x) em +\infty. Vamos analisar cada item separadamente.

Passo 2

(a) “Se \lim_{x\to+\infty}f'(x)=m, então f admite assíntota com coeficiente angular m.”
Contraexemplo: defina
f'(x)=m+\frac1x.
Então \lim_{x\to+\infty}f'(x)=m, mas ao integrar de, digamos, 1 a x,
f(x)=f(1)+\int_{1}^{x}\Bigl(m+\frac1t\Bigr)\,dt =f(1)+m(x-1)+\ln(x).
Isso significa
f(x)-mx-n=\ln(x)\quad\text{com \(n=f(1)-m\).}
Como \ln(x)\to+\infty, não existe n que faça f(x)-(mx+n)\to0. Logo, (a) é falsa.

Passo 3

(b) “Se y=mx+n é assíntota de f em +\infty, então \lim_{x\to+\infty}f'(x)=m.”
Contraexemplo: tome
f(x)=m x+n+\frac{\sin(x^2)}{x}.
Aqui \sin(x^2)/x\to0, logo y=mx+n é assíntota. Mas
f'(x) =m+\frac{2x\cos(x^2)\cdot x-\sin(x^2)}{x^2} =m+2\cos(x^2)-\frac{\sin(x^2)}{x^2},
e o termo 2\cos(x^2) não tem limite quando x\to+\infty. Portanto \lim f'(x) não existe, e (b) é falsa.

Passo 4

(c) “Se y=mx+n é assíntota de f em +\infty e \lim_{x\to+\infty}f'(x)=L, então m=L.”
Defina h(x)=f(x)-(m x+n). A hipótese de assíntota diz \lim_{x\to+\infty}h(x)=0. Como h'(x)=f'(x)-m, ao supor \lim f'(x)=L temos \lim h'(x)=L-m. Se L\neq m, então para x grande h'(x) fica afastado de zero, fazendo h(x) divergir linearmente, o que contradiz \lim h(x)=0. Logo L-m=0, ou seja, L=m. Assim, (c) é verdadeira.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Verdadeira.

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