Seja
uma função derivável até segunda ordem. Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando.
a) Se
, então
admite assíntota para
com coeficiente angular
.
b) Se
é assíntota de
para
, então
.
c) Se
é assíntota de
para
e se
, então
.
a) Se
b) Se
c) Se
Passo 1
O enunciado considera uma função
, duas vezes derivável, e pede para decidir se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve o conceito de assíntota oblíqua em
, isto é, reta
tal que
e o comportamento de
em
. Vamos analisar cada item separadamente.
Passo 2
(a) “Se
, então
admite assíntota com coeficiente angular
.”
Contraexemplo: defina
Contraexemplo: defina
Então
, mas ao integrar de, digamos,
a
,
Isso significa
Como
, não existe
que faça
. Logo, (a) é falsa.
Passo 3
(b) “Se
é assíntota de
em
, então
.”
Contraexemplo: tome
Contraexemplo: tome
Aqui
, logo
é assíntota. Mas
e o termo
não tem limite quando
. Portanto
não existe, e (b) é falsa.
Passo 4
(c) “Se
é assíntota de
em
e
, então
.”
Defina . A hipótese de assíntota diz
. Como
, ao supor
temos
. Se
, então para
grande
fica afastado de zero, fazendo
divergir linearmente, o que contradiz
. Logo
, ou seja,
. Assim, (c) é verdadeira.
Defina
Resposta
(a) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Verdadeira.
(b) Falsa.
(c) Verdadeira.