Nos exercícios 27-36, determine os valores extremos das funções e identifique onde eles ocorrem.
y=\left|3+2 x-x^{2}\right|

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos da função
y = \bigl|3 + 2x - x^2\bigr|.
O conteúdo envolvido é o estudo de extremos em funções definidas por partes (valor absoluto). Para resolver, vamos (1) identificar onde o radicando muda de sinal, (2) escrever a função em cada região sem o valor absoluto e (3) calcular derivadas para achar extremos internos e analisar fronteiras.

Passo 2

Definimos f(x)=3+2x-x^2. As raízes de f satisfazem
-x^2 +2x+3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 -2x -3 = 0
cuja solução é
x = \frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2} = \frac{2\pm4}{2} \;\Longrightarrow\; x = -1,\;x = 3.
Logo
y = \begin{cases} f(x) = 3+2x-x^2, & -1 \le x \le 3,\\\\ -f(x) = x^2 -2x -3, & x < -1\\ \text{ou}\\ x > 3. \end{cases}

Passo 3

Na região -1 < x < 3, temos y = f(x). Calculamos
f'(x) = 2 - 2x.
Zerando f'(x)=0 x = 1, que pertence à região. O valor é
y(1) = 3 + 2\cdot1 - 1^2 = 4.
Portanto, em x=1 há um extremo interno, com y_{\max}^{\text{local}} = 4.

Passo 4

Nas regiões x < -1 e x > 3, temos y = g(x) com
g(x) = x^2 - 2x - 3, \qquad g'(x) = 2x - 2.
A equação g'(x)=0 leva a x=1, mas 1\notin(-\infty,-1)\cup(3,\infty). Logo não há extremos internos nessas partes. Além disso, g(x)\to+\infty quando x\to\pm\infty, então não há máximo global finito.

Passo 5

Restam as fronteiras x=-1 e x=3. Em ambas
y(-1)=\bigl|3+2(-1)-(-1)^2\bigr|=0, \qquad y(3)=\bigl|3+2\cdot3-3^2\bigr|=0.
Como y(x)\ge0 sempre, esses pontos são mínimos locais e também mínimos globais.

Resposta

mínimo global e local: y=0 em x=-1 e x=3
máximo local: y=4 em x=1
não há máximo global finito

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