Utilizando o método de Frobenius, encontre uma solução de
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que tem um ponto singular em
. Vamos aplicar o método de Frobenius, que consiste em buscar uma solução da forma
onde
é o expoente indicial a determinar e
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão
dividindo tudo por
. Obtemos
Aqui
e
, e
é um ponto singular regular.
Passo 3
Substituímos
na equação original. Multiplicando por
e coletando potências, chega-se a
Passo 4
Para igualar as potências, na soma do termo
vem o coeficiente indicial:
Tomamos
.
Passo 5
Agora, para
, a comparação de coeficientes
fornece a relação de recorrência
Passo 6
Começando por
:
- Para
: - Para
: - E daí em diante
para todo .
Logo a série truncou em grau 1 e obtemos
Resposta
A aplicação do método de Frobenius produz a solução em série que se reduz ao polinômio
onde
é constante arbitrária.