Utilizando o método de Frobenius, encontre uma solução de
x y^{\prime \prime}+(1-x) y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x\,y''+(1 - x)\,y'+y=0
que tem um ponto singular em x=0. Vamos aplicar o método de Frobenius, que consiste em buscar uma solução da forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^{n+r},
onde r é o expoente indicial a determinar e a_0\neq0.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão
y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0,
dividindo tudo por x. Obtemos
y''+\Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)y'+\frac{1}{x}\,y=0.
Aqui P(x)=\frac{1}{x}-1 e Q(x)=\frac{1}{x}, e x=0 é um ponto singular regular.

Passo 3

Substituímos
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^{n+r}, \quad y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)\,a_n\,x^{n+r-1}, \quad y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)\,a_n\,x^{n+r-2}
na equação original. Multiplicando por x e coletando potências, chega-se a
\sum_{n=0}^\infty\bigl[(n+r)^2\,a_n\bigr]x^{n+r-1} +\sum_{n=0}^\infty(1-n-r)\,a_n\,x^{n+r}=0.

Passo 4

Para igualar as potências, na soma do termo x^{r-1} vem o coeficiente indicial:
r^2\,a_0=0 \quad\Longrightarrow\quad r^2=0 \quad\Longrightarrow\quad r=0\\ (\text{raiz dupla}).
Tomamos r=0.

Passo 5

Agora, para n\ge0, a comparação de coeficientes x^{n} fornece a relação de recorrência
(n+1)^2\,a_{n+1}+(1-n)\,a_n=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{n+1}=\frac{n-1}{(n+1)^2}\;a_n.

Passo 6

Começando por a_0\neq0:
  • Para n=0: a_1=\dfrac{0-1}{1^2}\,a_0=-a_0.
  • Para n=1: a_2=\dfrac{1-1}{2^2}\,a_1=0.
  • E daí em diante a_n=0 para todo n\ge2.
Logo a série truncou em grau 1 e obtemos
y(x)=a_0\bigl(x^0 - x^1\bigr) =a_0\,(1-x).

Resposta

A aplicação do método de Frobenius produz a solução em série que se reduz ao polinômio
\boxed{y(x)=C\,(1 - x),}
onde C é constante arbitrária.

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