Determine w sabendo que ||w|| = raiz(5), que w é ortogonal a u = (2, 1, -1) e que w é coplanar a v1 = (1, 1, 1) e v2 = (0, 1, -1).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa aqui. A questão pede para encontrar o vetor w que tem comprimento raiz(5), é ortogonal ao vetor e está no mesmo plano que os vetores e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, ortogonalidade, norma e combinação linear para garantir que w seja coplanar com e .

Passo 2

Primeiro, como w é coplanar com e , ela pode ser escrita como uma combinação linear desses vetores. Ou seja:
Onde a e b são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos expandir essa combinação:
Então, .

Passo 4

Agora, sabemos que w é ortogonal a . Dois vetores são ortogonais se o produto interno deles for zero. Então:
Calculando o produto interno:
Simplificando:
Então, temos a relação , ou seja, .

Passo 5

Substituindo na expressão de w:
Então, .

Passo 6

Agora, usamos a informação que a norma de w é raiz(5). A norma de um vetor (x, y, z) é dada por:
Aplicando isso:
Então, , o que significa que ou .

Passo 7

Vamos considerar os dois casos:
  1. Se , então e:
  2. Se , então e:

Resposta

Os vetores w que satisfazem as condições são e .

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