Determine
sabendo que
, que
é ortogonal a
e que
é coplanar a
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente precisa aqui. A questão pede para encontrar o vetor
que tem comprimento
, é ortogonal ao vetor
e está no mesmo plano que os vetores
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, ortogonalidade, norma e combinação linear para garantir que
seja coplanar com
e
.
Passo 2
Primeiro, como
é coplanar com
e
, ela pode ser escrita como uma combinação linear desses vetores. Ou seja:
Onde
e
são escalares que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos expandir essa combinação:
Então,
.
Passo 4
Agora, sabemos que
é ortogonal a
. Dois vetores são ortogonais se o produto interno deles for zero. Então:
Calculando o produto interno:
Simplificando:
Então, temos a relação
, ou seja,
.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Então,
.
Passo 6
Agora, usamos a informação que a norma de
é
. A norma de um vetor
é dada por:
Aplicando isso:
Então,
, o que significa que
ou
.
Passo 7
Vamos considerar os dois casos:
-
Se
, então e: -
Se
, então e:
Resposta
Os vetores
que satisfazem as condições são
e
.