Sejam u = (1, -2, 2) e v = (2, -1, 0). Determine a e b para que w = (a, b, 1) seja ortogonal a u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá dois vetores, e , e nos pede para encontrar os valores de a e b de modo que o vetor seja ortogonal aos dois primeiros vetores. A matéria que vamos usar aqui é a álgebra vetorial, especificamente o conceito de ortogonalidade entre vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar entre vetores e usar isso para encontrar as condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero. O produto escalar entre dois vetores e é calculado assim:
Então, para que w seja ortogonal a u e v, precisamos que:

Passo 3

Vamos calcular primeiro o produto escalar entre w e u:
Agora, o produto escalar entre w e v:

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar b em função de a:

Passo 5

Substituímos na primeira equação:
Agora, usamos para encontrar b:

Resposta

Os valores são e .

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