Determine whether each matrix is in row-echelon form. If it is, determine whether the matrix is also in reduced row-echelon form
\left[\begin{array}{rrrrr}1 & -5 & 2 & -1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz 4\times5
A=\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & -5 & 2 & -1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
As perguntas são:
  1. Esta matriz está em forma escalonada por linhas (row-echelon form, REF)?
  2. Se estiver em REF, ela também está em forma escalonada reduzida por linhas (reduced row-echelon form, RREF)?

Passo 2

Vou lembrar, de modo bem prático, o que significa estar em forma escalonada por linhas (REF). Uma matriz está em REF quando, simultaneamente:
  • (a) todas as linhas nulas (se houver) aparecem abaixo das linhas não nulas;
  • (b) o primeiro elemento não nulo (chamado de entrada principal ou pivô) de cada linha não nula fica mais à direita do que o pivô da linha acima;
  • (c) todos os elementos abaixo de cada pivô são zeros.
Agora vou identificar os pivôs em cada linha de A e checar as condições acima.
Primeiro não nulo de cada linha:
  • Linha 1: o primeiro não nulo é 1 na coluna 1. Ou seja, pivô em (1,1).
  • Linha 2: o primeiro não nulo é 1 na coluna 3. Ou seja, pivô em (2,3).
  • Linha 3: o primeiro não nulo é 1 na coluna 4. Ou seja, pivô em (3,4).
  • Linha 4: o primeiro não nulo é 1 na coluna 5. Ou seja, pivô em (4,5).
Verificações:
  • (a) Não há linhas totalmente nulas em A, logo a condição de linhas nulas abaixo está satisfeita.
  • (b) Os índices das colunas dos pivôs são 1,3,4,5. Eles aumentam estritamente ( 1<3<4<5 ), então cada pivô está mais à direita que o pivô da linha anterior — condição satisfeita.
  • (c) Para cada pivô, todos os elementos abaixo dele na mesma coluna são zeros:
    • Coluna 1: entradas nas linhas 2,3,4 são 0.
    • Coluna 3: entradas nas linhas 3,4 são 0.
    • Coluna 4: entrada na linha 4 é 0.
    • Coluna 5: não há linhas abaixo da linha 4.
      Portanto a condição de zeros abaixo de cada pivô também está satisfeita.
Conclusão desta verificação: a matriz A satisfaz todas as condições da forma escalonada por linhas (REF).

Passo 3

Agora vamos ver se A está em forma escalonada reduzida por linhas (RREF). Lembrete prático: além de ser REF, para estar em RREF é necessário também que
  • (d) cada pivô seja igual a 1 (leading 1); e
  • (e) cada pivô seja o único elemento não nulo em sua coluna (ou seja, todos os elementos acima e abaixo do pivô devem ser zero).
Verificação das condições adicionais:
  • (d) Os pivôs que identificámos são todos 1 (colunas 1,3,4,5 nas linhas 1,2,3,4 respetivamente). Então (d) está satisfeita.
  • (e) Precisamos checar se há zeros também acima de cada pivô. Olhando para as entradas acima dos pivôs:
    • Pivô em coluna 3 (linha 2): a entrada acima, em (1,3), vale 2, que é diferente de zero. Então a coluna 3 tem um não-zero acima do pivô.
    • Pivô em coluna 4 (linha 3): as entradas acima em (1,4) e (2,4) valem -1 e 3, respectivamente — não são zeros.
    • Pivô em coluna 5 (linha 4): as entradas acima em (1,5), (2,5), (3,5) valem 3,\,-2,\,4 — não são zeros.
      Portanto a condição (e) NÃO é satisfeita (há elementos não nulos acima dos pivôs nas colunas 3,4,5).
Conclusão: embora cada pivô seja 1, eles não são os únicos não-zeros em suas colunas porque existem elementos não nulos acima deles. Logo A não está em RREF.

Passo 4

Para fixar o conceito e mostrar de forma prática o que falta para ficar em RREF, vou mostrar rapidamente as operações elementares que zerariam os elementos acima dos pivôs (isto é, transformar A em sua RREF). As operações que usa-se são combinações de linhas (adições/subtrações de múltiplos de linhas):
Matriz inicial:
A=\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & -5 & 2 & -1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
  1. Eliminar os não-zeros na coluna 5 acima do pivô (4,5). Usar R_1\leftarrow R_1-3R_4, R_2\leftarrow R_2+2R_4, R_3\leftarrow R_3-4R_4. O resultado é
\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & -5 & 2 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
  1. Eliminar os não-zeros na coluna 4 acima do pivô (3,4). Usar R_1\leftarrow R_1+R_3 e R_2\leftarrow R_2-3R_3. O resultado é
\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & -5 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
  1. Eliminar o não-zero na coluna 3 acima do pivô (2,3). Usar R_1\leftarrow R_1-2R_2. O resultado final (RREF) é
\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & -5 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right],
onde agora cada pivô é 1 e é o único elemento não nulo em sua coluna — isto é uma forma escalonada reduzida por linhas.
Este procedimento mostra de forma concreta o que faltava: zerar as entradas acima dos pivôs. A matriz original já estava escalonada (REF), mas precisava dessas eliminações acima dos pivôs para ficar reduzida (RREF).

Resposta

Sim — a matriz está em forma escalonada por linhas (REF).
Não — a matriz não está em forma escalonada reduzida por linhas (RREF).

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