In Exercises 63-66, state why the system of equations must have at least one solution. Then solve the system and determine whether it has exactly one solution or infinitely many solutions.
16 x+3 y+z=0
16 x+2 y-z=0

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo com três incógnitas:
\begin{cases} 16x+3y+z=0,\\[4pt] 16x+2y-z=0. \end{cases}
O que é pedido:
  • afirmar por que o sistema deve ter pelo menos uma solução;
  • resolver o sistema (achar todas as soluções);
  • dizer se a solução é única ou se há infinitas soluções.]

Passo 2

Por que existe pelo menos uma solução?
Quando todas as constantes do lado direito são 0 (ou seja, o sistema é homogêneo), existe sempre a solução trivial
(x,y,z)=(0,0,0),
porque substituir x=0,y=0,z=0 satisfaz ambas as equações. Então já temos garantia de existência de solução.

Passo 3

Agora vamos resolver o sistema passo a passo por eliminação. Escrevo novamente as equações:
\begin{aligned} (1)\\ &16x+3y+z=0,\\\ (2)\\ &16x+2y-z=0. \end{aligned}
Somando (1) e (2) (para eliminar z) obtemos:
(1)+(2):\quad 32x+5y=0.

Passo 4

Resolvo 32x+5y=0 para y em função de x:
32x+5y=0 \quad\Longrightarrow\quad 5y=-32x \quad\Longrightarrow\quad y=-\frac{32}{5}x.
Aqui escolhi isolar y porque ficou simples em termos de x.

Passo 5

Agora encontro z em função de x. Uso a equação (1):
z=-16x-3y.
Substituindo y=-\dfrac{32}{5}x temos
z=-16x-3\left(-\frac{32}{5}x\right)=-16x+\frac{96}{5}x=\frac{-80+96}{5}x=\frac{16}{5}x.

Passo 6

Portanto y e z estão determinados por x. Tomando x como parâmetro livre t\in\mathbb{R}, obtemos a solução geral:
x=t,\qquad y=-\frac{32}{5}t,\qquad z=\frac{16}{5}t.
Para evitar frações, podemos reparametrizar: seja \lambda=\dfrac{t}{5}. Então
x=5\lambda,\qquad y=-32\lambda,\qquad z=16\lambda,
ou em forma vetorial
(x,y,z)=\lambda(5,-32,16),\qquad \lambda\in\mathbb{R}.

Passo 7

Interpretação final sobre unicidade: como há um parâmetro livre \lambda, existem infinitas soluções (todas múltiplas escalares do vetor (5,-32,16)). A solução trivial corresponde a \lambda=0. Também se pode ver que as duas equações são linearmente independentes (não são múltiplos uma da outra), então a dimensão do espaço de soluções é 3-2=1, confirmando que o conjunto de soluções é uma reta através da origem no espaço \mathbb{R}^3.

Resposta

Tem pelo menos uma solução porque o sistema é homogêneo, então (0,0,0) é solução.
Todas as soluções: (x,y,z)=\lambda(5,-32,16), \lambda\in\mathbb{R}.
Há infinitas soluções.

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