In Exercises 63-66, state why the system of equations must have at least one solution. Then solve the system and determine whether it has exactly one solution or infinitely many solutions.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo com três incógnitas:
O que é pedido:
- afirmar por que o sistema deve ter pelo menos uma solução;
- resolver o sistema (achar todas as soluções);
- dizer se a solução é única ou se há infinitas soluções.]
Passo 2
Por que existe pelo menos uma solução?
Quando todas as constantes do lado direito são (ou seja, o sistema é homogêneo), existe sempre a solução trivial
Quando todas as constantes do lado direito são
porque substituir
satisfaz ambas as equações. Então já temos garantia de existência de solução.
Passo 3
Agora vamos resolver o sistema passo a passo por eliminação. Escrevo novamente as equações:
Somando
e
(para eliminar
) obtemos:
Passo 4
Resolvo
para
em função de
:
Aqui escolhi isolar
porque ficou simples em termos de
.
Passo 5
Agora encontro
em função de
. Uso a equação
:
Substituindo
temos
Passo 6
Portanto
e
estão determinados por
. Tomando
como parâmetro livre
, obtemos a solução geral:
Para evitar frações, podemos reparametrizar: seja
. Então
ou em forma vetorial
Passo 7
Interpretação final sobre unicidade: como há um parâmetro livre
, existem infinitas soluções (todas múltiplas escalares do vetor
). A solução trivial corresponde a
. Também se pode ver que as duas equações são linearmente independentes (não são múltiplos uma da outra), então a dimensão do espaço de soluções é
, confirmando que o conjunto de soluções é uma reta através da origem no espaço
.
Resposta
Tem pelo menos uma solução porque o sistema é homogêneo, então
é solução.
Todas as soluções: ,
.
Há infinitas soluções.
Todas as soluções:
Há infinitas soluções.