Prove que a adição e a multiplicação de inteiros estão bem definidas. Ou seja, assumindo que ",[(a, b)]=\left[\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)\right]) e ",[(c, d)]=\left[\left(c^{\prime}, d^{\prime}\right)\right]), demonstre que:
a) ",[(a, b)]+[(c, d)]=\left[\left(a^{\prime}, b{\prime}\right)\right]+\left[\left(c{\prime}, d^{\prime}\right)\right])

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \left[(a,b)\right]=\left[\left(a',b'\right)\right].
  • \left[(c,d)\right]=\left[\left(c',d'\right)\right].
O que se pede demonstrar (parte (a)) é:
  • \left[(a,b)\right]+\left[(c,d)\right]=\left[\left(a',b'\right)\right]+\left[\left(c',d'\right)\right].

Passo 2

Vamos lembrar as definições que usaremos (essas são as regras do modelo de inteiros por pares de naturais):
  • A relação de equivalência \sim entre pares de naturais é definida por
(a,b)\sim(a',b') \quad\text{se, e somente se,}\quad a+b' = a'+b.
Ou seja, dois pares representam o mesmo inteiro exatamente quando essas somas são iguais.
  • A soma entre classes é definida por
\left[(a,b)\right] + \left[(c,d)\right] := \left[(a+c,\;b+d)\right].
Portanto, para provar que a soma está bem definida basta mostrar que se (a,b)\sim(a',b') e (c,d)\sim(c',d') então (a+c,b+d)\sim(a'+c',b'+d').

Passo 3

Reescrevendo o objetivo em termos da relação \sim: precisamos provar
(a+c,\;b+d)\sim(a'+c',\;b'+d'),
ou seja precisamos mostrar a igualdade
(a+c)+(b'+d') = (a'+c')+(b+d).
Vou deduzir essa igualdade a partir das hipóteses \;a+b' = a'+b\; e \;c+d' = c'+d.

Passo 4

Começamos pelas hipóteses escritas explicitamente:
a+b' = a'+b \qquad\text{e}\qquad c+d' = c'+d.
Somando essas duas igualdades membro a membro (regra válida: se X=Y e U=V então X+U = Y+V), obtemos
(a+b') + (c+d') = (a'+b) + (c'+d).
Agora usamos associatividade e comutatividade da adição em \mathbb{N} para reorganizar os termos. No lado esquerdo:
(a+b') + (c+d') = a + b' + c + d' = a + c + b' + d' = (a+c) + (b' + d').
No lado direito:
(a'+b) + (c'+d) = a' + b + c' + d = a' + c' + b + d = (a'+c') + (b + d).
Portanto a igualdade anterior se reescreve como
(a+c) + (b' + d') = (a'+c') + (b + d).
Isto é exatamente a condição (a+c,b+d)\sim(a'+c',b'+d').

Passo 5

Da última igualdade segue que (a+c,b+d) é equivalente a (a'+c',b'+d'). Usando a definição de soma de classes temos então
\left[(a,b)\right]+\left[(c,d)\right] = \left[(a+c,b+d)\right] = \left[(a'+c',b'+d')\right] = \left[\left(a',b'\right)\right] + \left[\left(c',d'\right)\right].
Isso prova que a adição está bem definida: o resultado não depende da escolha de representantes das classes.

Resposta

\left[(a,b)\right]+\left[(c,d)\right]=\left[\left(a',b'\right)\right]+\left[\left(c',d'\right)\right]

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