Prove que a adição e a multiplicação de inteiros estão bem definidas. Ou seja, assumindo que ",[(a, b)]=\left[\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)\right]) e ",[(c, d)]=\left[\left(c^{\prime}, d^{\prime}\right)\right]), demonstre que:
a) ",[(a, b)]+[(c, d)]=\left[\left(a^{\prime}, b{\prime}\right)\right]+\left[\left(c{\prime}, d^{\prime}\right)\right])
a) ",[(a, b)]+[(c, d)]=\left[\left(a^{\prime}, b{\prime}\right)\right]+\left[\left(c{\prime}, d^{\prime}\right)\right])
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
.
O que se pede demonstrar (parte (a)) é:
Passo 2
Vamos lembrar as definições que usaremos (essas são as regras do modelo de inteiros por pares de naturais):
- A relação de equivalência
entre pares de naturais é definida por
Ou seja, dois pares representam o mesmo inteiro exatamente quando essas somas são iguais.
- A soma entre classes é definida por
Portanto, para provar que a soma está bem definida basta mostrar que se
e
então
.
Passo 3
Reescrevendo o objetivo em termos da relação
: precisamos provar
ou seja precisamos mostrar a igualdade
Vou deduzir essa igualdade a partir das hipóteses
e
.
Passo 4
Começamos pelas hipóteses escritas explicitamente:
Somando essas duas igualdades membro a membro (regra válida: se
e
então
), obtemos
Agora usamos associatividade e comutatividade da adição em
para reorganizar os termos. No lado esquerdo:
No lado direito:
Portanto a igualdade anterior se reescreve como
Isto é exatamente a condição
.
Passo 5
Da última igualdade segue que
é equivalente a
. Usando a definição de soma de classes temos então
Isso prova que a adição está bem definida: o resultado não depende da escolha de representantes das classes.