Determine whether each of the equations in Problems 1 through 12 is exact. If it is exact, find the solution.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução. Esse é um problema de equações exatas: vamos identificar
e
, checar exatidão e construir a função potencial
.
Passo 2
Escrevemos a equação no formato
onde
Para ser exata, deve valer
. Calculamos
logo a equação é exata.
Passo 3
Como é exata, existe
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é função ainda a determinar.
Passo 4
Agora temos
e deve coincidir com
. Logo
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a função potencial completa
A solução geral da equação é dada implicitamente por