Determine whether each of the equations in Problems 1 through 12 is exact. If it is exact, find the solution.
(2 x+3)+(2 y-2) y^prime=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(2x+3)+(2y-2),y'=0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução. Esse é um problema de equações exatas: vamos identificar M(x,y) e N(x,y), checar exatidão e construir a função potencial psi(x,y).

Passo 2

Escrevemos a equação no formato
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
onde
M(x,y)=2x+3, N(x,y)=2y-2
Para ser exata, deve valer partial M/partial y = partial N/partial x. Calculamos
partial Mpartial y=0, partial Npartial x=0,
logo a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M(x,y)=2x+3
Integramos em relação a x:
psi(x,y)=integral(2x+3),dx = x^2+3x + h(y),
onde h(y) é função ainda a determinar.

Passo 4

Agora temos
partial psipartial y=h'(y)
e deve coincidir com N(x,y)=2y-2. Logo
h'(y)=2y-2 Longrightarrow h(y)=integral(2y-2),dy = y^2 -2y + C1

Passo 5

Substituindo h(y) em psi, obtemos a função potencial completa
psi(x,y)=x^2+3x + y^2 -2y
A solução geral da equação é dada implicitamente por
psi(x,y)=C Longrightarrow x^2+3x+y^2-2y=C

Resposta

x^2 + 3x + y^2 - 2y = C

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