Sejam
e
funções tais que
para todo
e
é limitada, isto é, existem números
e
de modo que
Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções em torno de
: uma
que é não-negativa (
) e tende a zero (
), e uma
que é limitada, ou seja, existem constantes
e
tais que
para
próximo de
.
O que queremos mostrar é que o produto também tende a zero quando
. Vamos usar o Teorema do Confronto (ou Squeeze).
O que queremos mostrar é que o produto
Passo 2
Como
, podemos multiplicar a desigualdade
por
sem inverter os sinais. Obtemos
Passo 3
Agora avaliamos o limite das extremas quando
. Como
, temos
Passo 4
Pelo Teorema do Confronto, se
e
, então