Sejam f(x) e g(x) funções tais que f(x) >= 0 para todo x in Dom f, lim x a f(x)=0 e g(x) é limitada, isto é, existem números M e N de modo que
M <= g(x) <= N, x in Dom f
Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que lim x a[f(x) g(x)]=0.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções em torno de x=a: uma f(x) que é não-negativa ( f(x)>=0) e tende a zero ( limxto af(x)=0), e uma g(x) que é limitada, ou seja, existem constantes M e N tais que
M <= g(x)<= N
para x próximo de a.
O que queremos mostrar é que o produto f(x),g(x) também tende a zero quando xto a. Vamos usar o Teorema do Confronto (ou Squeeze).

Passo 2

Como f(x)>=0, podemos multiplicar a desigualdade M<= g(x)<= N por f(x) sem inverter os sinais. Obtemos
M,f(x);<=;f(x),g(x);<=;N,f(x)

Passo 3

Agora avaliamos o limite das extremas quando xto a. Como limxto af(x)=0, temos
limxto aM,f(x)=Mcdot0=0, limxto aN,f(x)=Ncdot0=0

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, se
limxto aM,f(x)=0 e limxto aN,f(x)=0
e M,f(x)<= f(x),g(x)<= N,f(x), então
limxto af(x),g(x)=0

Resposta

limxto a[f(x),g(x)] = 0

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