Determine whether each of the equations in Problems 1 through 12 is exact. If it is exact, find the solution.
(2 x y^2+2 y)+(2 x^2 y+2 x) y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(2xy^2 + 2y),dx + (2x^2y + 2x),dy = 0
e pede para verificar se ela é exata. Se for, devemos encontrar a solução implícita Phi(x,y)=C.

Passo 2

Para testar a exatidão, identificamos
M(x,y) = 2xy^2 + 2y, N(x,y) = 2x^2y + 2x
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 4xy + 2, partial Npartial x = 4xy + 2
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = M(x,y), partial Phipartial y = N(x,y)
Integramos M em relação a x:
Phi(x,y) = integral (2xy^2 + 2y),dx = x^2y^2 + 2xy + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.
Em seguida, impomos
partial Phipartial y = 2x^2y + 2x + h'(y) =N(x,y)=2x^2y+2x,
logo h'(y)=0 e h(y) é constante.

Resposta

A solução implícita é
x^2y^2 + 2xy = C,
com C constante arbitrária.

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