Questão 3: Calcule as integrais:
\int_{0}^{1} \frac{x-4}{x^{2}+5 x+6} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x-4}{x^{2}+5x+6}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • O integrando é a função racional \dfrac{x-4}{x^{2}+5x+6}.
  • Os limites de integração são 0 e 1.
  • O polinômio do denominador pode ser fatorado (isso será útil).

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e por que usar): a função é uma fração racional com numerador de grau menor que o denominador e com denominador fatorável em fatores lineares distintos. O método mais direto e simples é decompor em frações parciais. Ideia essencial das frações parciais: escrever
\frac{x-4}{(x+2)(x+3)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+3},
com constantes A e B. Isso transforma a integral numa soma de integrais do tipo \int \frac{1}{x+a}\,dx, cuja primitiva é \ln|x+a|. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Fatorar o denominador:
x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3).
Portanto podemos escrever a decomposição em frações parciais como
\frac{x-4}{x^{2}+5x+6}=\frac{x-4}{(x+2)(x+3)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+3}.

Passo 4

Determinar A\) e \(B\). Multiplico ambos os lados por \((x+2)(x+3)\) e obtenho a identidade: \[x-4=A(x+3)+B(x+2).
Expandindo o lado direito:
x-4 = A x + 3A + B x + 2B = (A+B)x + (3A+2B).
Comparando coeficientes de x e termo constante obtemos o sistema linear:
\begin{cases} A+B = 1,\\[4pt] 3A+2B = -4. \end{cases}
Resolvo o sistema. Subtraindo (2] vezes a primeira equação da segunda:
3A+2B - (2A+2B)= -4 - 2 \quad\Rightarrow\quad A = -6.
Então
B = 1 - A = 1 - (-6) = 7.
Logo a decomposição é
\frac{x-4}{x^{2}+5x+6} = \frac{-6}{x+2} + \frac{7}{x+3}.]

Passo 5

Agora integro termo a termo. Lembrando que a primitiva de \dfrac{1}{x+a} é \ln|x+a|. Assim uma primitiva para o integrando é
\int \left(\frac{-6}{x+2}+\frac{7}{x+3}\right)dx = -6\ln|x+2| + 7\ln|x+3| + C.
Como estamos calculando integral definida de 0 a 1, aplico o teorema fundamental do cálculo:
\int_{0}^{1} \frac{x-4}{x^{2}+5x+6}\,dx = \left[-6\ln|x+2| + 7\ln|x+3|\right]_{0}^{1}.

Passo 6

Avalio nos extremos e simplifico:
\begin{aligned} \left[-6\ln|x+2| + 7\ln|x+3|\right]_{0}^{1} &= \big(-6\ln 3 + 7\ln 4\big) - \big(-6\ln 2 + 7\ln 3\big)\\[6pt] &= -6\ln 3 + 7\ln 4 + 6\ln 2 - 7\ln 3\\[6pt] &= 7\ln 4 + 6\ln 2 - 13\ln 3. \end{aligned}
Posso simplificar usando \ln 4 = 2\ln 2:
7\ln 4 + 6\ln 2 - 13\ln 3 = 14\ln 2 + 6\ln 2 - 13\ln 3 = 20\ln 2 - 13\ln 3.
Como verificação rápida: o integrando é negativo no intervalo, então um resultado negativo faz sentido numericamente; de fato
20\ln 2 - 13\ln 3 \approx 20(0,693147) - 13(1,098612)\approx -0,419.]

Resposta

\;20\ln 2 - 13\ln 3

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