Questão 3: Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral definida
Informações relevantes dadas:
- O integrando é a função racional
. - Os limites de integração são
e . - O polinômio do denominador pode ser fatorado (isso será útil).
Passo 2
Escolha do método (explicação didática e por que usar): a função é uma fração racional com numerador de grau menor que o denominador e com denominador fatorável em fatores lineares distintos. O método mais direto e simples é decompor em frações parciais. Ideia essencial das frações parciais: escrever
com constantes
e
. Isso transforma a integral numa soma de integrais do tipo
, cuja primitiva é
. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Fatorar o denominador:
Portanto podemos escrever a decomposição em frações parciais como
Passo 4
Determinar
Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes de
e termo constante obtemos o sistema linear:
Resolvo o sistema. Subtraindo (2] vezes a primeira equação da segunda:
Então
Logo a decomposição é
]
Então
Logo a decomposição é
Passo 5
Agora integro termo a termo. Lembrando que a primitiva de
é
. Assim uma primitiva para o integrando é
Como estamos calculando integral definida de
a
, aplico o teorema fundamental do cálculo:
Passo 6
Avalio nos extremos e simplifico:
Posso simplificar usando
:
Como verificação rápida: o integrando é negativo no intervalo, então um resultado negativo faz sentido numericamente; de fato