Mostre que o método de Simpson aplicado a qualquer polinômio de grau 3 dá o resultado correto. Justifique.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que o método de Simpson aplicado a qualquer polinômio de grau 3 dá o resultado correto (ou seja, a aproximação de Simpson coincide exatamente com o valor da integral definida).\n
Informações relevantes e notação que usaremos:
Informações relevantes e notação que usaremos:
- Seja o intervalo de integração
. - O ponto médio será
. - Definimos
, assim e . - A fórmula do método de Simpson (na forma usual para um subintervalo
) é
O objetivo é provar que, para qualquer polinômio
de grau menor ou igual a 3, vale
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): vamos reduzir a prova a um caso simétrico, usando a mudança de variável que centraliza o intervalo em torno do ponto médio. Isso simplifica as contas porque funções ímpares em relação ao ponto médio têm integral zero no intervalo simétrico. Depois, mostraremos que basta verificar a igualdade para as monômias
(base para polinômios de grau
) e então estenderemos por linearidade para qualquer combinação. A ideia de “por linearidade” significa: se duas aplicações (a integral e a fórmula de Simpson) são lineares em
e coincidem em uma base, então coincidem em todo o espaço gerado por essa base.
Passo 3
Mudança de variável para o intervalo padrão
. Definimos a transformação
Então
e
onde definimos
. Também a fórmula de Simpson sobre
fica, usando
e
,
Portanto a igualdade a provar é equivalente a
para toda função
da forma
com
polinomial de grau
. Note que se
tem grau
então
também é um polinômio em
de grau
.
Passo 4
Redução a uma verificação em monômios. Como tanto a integral quanto a expressão de Simpson são aplicações lineares em
(ou seja, se
são funções e
números, ambas obedecem
e análogo para a soma de valores com coeficientes), basta verificar a igualdade para a base dos polinômios de grau
. Uma base conveniente é
. Logo vamos checar a identidade
para
. (Repare que
para
; para
temos
que interpretamos como
pela definição do monômio constante.)
Passo 5
Cálculo direto para
(constante).
E a expressão de Simpson dá
Portanto coincide para
.
Passo 6
Cálculo para
(função ímpar).
porque
é função ímpar no intervalo simétrico. A expressão de Simpson é
Coincide para
.
Passo 7
Cálculo para
.
E a fórmula de Simpson fornece
Portanto coincide para
.
Passo 8
Cálculo para
(função ímpar).
novamente por simetria (função ímpar). E Simpson dá
Coincide para
.
Passo 9
Conclusão por linearidade. Como as duas aplicações (integral e fórmula de Simpson no intervalo padronizado) coincidem em cada um dos polinômios da base
, e ambas são lineares, seguem coincidir para qualquer combinação linear desses monômios, isto é, para qualquer polinômio de grau
. Voltando à variável original
e à função
, concluímos que para qualquer polinômio
de grau
vale
Isto prova que o método de Simpson é exato para todos os polinômios de grau 3 (e também para graus menores).
Resposta
O método de Simpson é exato para todo polinômio de grau
; isto é, para qualquer polinômio
com
vale