Mostre que o método de Simpson aplicado a qualquer polinômio de grau 3 dá o resultado correto. Justifique.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que o método de Simpson aplicado a qualquer polinômio de grau 3 dá o resultado correto (ou seja, a aproximação de Simpson coincide exatamente com o valor da integral definida).\n
Informações relevantes e notação que usaremos:
  • Seja o intervalo de integração [a,b].
  • O ponto médio será \displaystyle c=\frac{a+b}{2}.
  • Definimos \displaystyle h=\frac{b-a}{2}, assim b=a+2h e c=a+h.
  • A fórmula do método de Simpson (na forma usual para um subintervalo [a,b]) é
\text{Simpson}(f) = \frac{b-a}{6}\bigl(f(a)+4f\text{(c)}+f(b)\bigr).
O objetivo é provar que, para qualquer polinômio p de grau menor ou igual a 3, vale
\int_{a}^{b} p(x)\,dx = \frac{b-a}{6}\bigl(p(a)+4p\text{(c)}+p(b)\bigr).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): vamos reduzir a prova a um caso simétrico, usando a mudança de variável que centraliza o intervalo em torno do ponto médio. Isso simplifica as contas porque funções ímpares em relação ao ponto médio têm integral zero no intervalo simétrico. Depois, mostraremos que basta verificar a igualdade para as monômias 1, t, t^{2}, t^{3} (base para polinômios de grau \le 3) e então estenderemos por linearidade para qualquer combinação. A ideia de “por linearidade” significa: se duas aplicações (a integral e a fórmula de Simpson) são lineares em f e coincidem em uma base, então coincidem em todo o espaço gerado por essa base.

Passo 3

Mudança de variável para o intervalo padrão [-1,1]. Definimos a transformação
x = c + h t,\qquad t\in[-1,1].
Então dx = h\,dt e
\int_{a}^{b} p(x)\,dx = \int_{-1}^{1} p(c+ht)\,h\,dt = h\int_{-1}^{1} g(t)\,dt,
onde definimos g(t)=p(c+ht). Também a fórmula de Simpson sobre [a,b] fica, usando b-a=2h e c=a+h,
\frac{b-a}{6}\bigl(p(a)+4p\text{(c)}+p(b)\bigr) = \frac{2h}{6}\bigl(g(-1)+4g(0)+g(1)\bigr) = h\cdot\frac{1}{3}\bigl(g(-1)+4g(0)+g(1)\bigr).
Portanto a igualdade a provar é equivalente a
\int_{-1}^{1} g(t)\,dt = \frac{1}{3}\bigl(g(-1)+4g(0)+g(1)\bigr)
para toda função g da forma g(t)=p(c+ht) com p polinomial de grau \le 3. Note que se p tem grau \le 3 então g também é um polinômio em t de grau \le 3.

Passo 4

Redução a uma verificação em monômios. Como tanto a integral quanto a expressão de Simpson são aplicações lineares em g (ou seja, se g_1,g_2 são funções e \alpha,\beta números, ambas obedecem \int(\alpha g_1+\beta g_2)=\alpha\int g_1+\beta\int g_2 e análogo para a soma de valores com coeficientes), basta verificar a igualdade para a base dos polinômios de grau \le 3. Uma base conveniente é \{1,t,t^{2},t^{3}\}. Logo vamos checar a identidade
\int_{-1}^{1} t^{k}\,dt = \frac{1}{3}\bigl((-1)^{k}+4\cdot 0^{k}+1^{k}\bigr)
para k=0,1,2,3. (Repare que g(0)=0^{k}=0 para k\ge1; para k=0 temos 0^{0} que interpretamos como 1 pela definição do monômio constante.)

Passo 5

Cálculo direto para k=0 (constante).
\int_{-1}^{1} 1\,dt = 2.
E a expressão de Simpson dá
\frac{1}{3}\bigl(1 + 4\cdot 1 + 1\bigr) = \frac{1}{3}\cdot 6 = 2.
Portanto coincide para t^{0}.

Passo 6

Cálculo para k=1 (função ímpar).
\int_{-1}^{1} t\,dt = 0
porque t é função ímpar no intervalo simétrico. A expressão de Simpson é
\frac{1}{3}\bigl((-1) + 4\cdot 0 + 1\bigr) = \frac{1}{3}\cdot 0 = 0.
Coincide para t^{1}.

Passo 7

Cálculo para k=2.
\int_{-1}^{1} t^{2}\,dt = \left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.
E a fórmula de Simpson fornece
\frac{1}{3}\bigl(1 + 4\cdot 0 + 1\bigr) = \frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{2}{3}.
Portanto coincide para t^{2}.

Passo 8

Cálculo para k=3 (função ímpar).
\int_{-1}^{1} t^{3}\,dt = 0
novamente por simetria (função ímpar). E Simpson dá
\frac{1}{3}\bigl((-1)^{3} + 4\cdot 0 + 1^{3}\bigr) = \frac{1}{3}(-1+1)=0.
Coincide para t^{3}.

Passo 9

Conclusão por linearidade. Como as duas aplicações (integral e fórmula de Simpson no intervalo padronizado) coincidem em cada um dos polinômios da base \{1,t,t^{2},t^{3}\}, e ambas são lineares, seguem coincidir para qualquer combinação linear desses monômios, isto é, para qualquer polinômio de grau \le 3. Voltando à variável original x e à função p, concluímos que para qualquer polinômio p de grau \le 3 vale
\int_{a}^{b} p(x)\,dx = \frac{b-a}{6}\bigl(p(a)+4p\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr)+p(b)\bigr).
Isto prova que o método de Simpson é exato para todos os polinômios de grau 3 (e também para graus menores).

Resposta

O método de Simpson é exato para todo polinômio de grau \le 3; isto é, para qualquer polinômio p com \deg p\le 3 vale
\int_{a}^{b} p(x)\,dx = \frac{b-a}{6}\bigl(p(a)+4p\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr)+p(b)\bigr).

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