Determine x em log raiz6 x+5+log raiz2 x+7=3 log 2.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação
log raiz6x+5 ;+;log raiz2x+7 ;=;3log 2
Usaremos propriedades de logaritmos e técnicas de solução de equação algébrica.

Passo 2

Para que as expressões raiz6x+5 e raiz2x+7 existam e os logaritmos sejam definidos, é preciso
6x+5 > 0 e 2x+7 > 0
Isso dá
x > -tfrac56 e x > -tfrac72,
logo o domínio é
x > -tfrac56

Passo 3

Aplicando log A + log B = log(AB) e klog a = log(a^k), temos
log raiz6x+5 + log raiz2x+7 = logl(raiz6x+5,raiz2x+7r) = lograiz(6x+5)(2x+7)
e
3log 2 = log(2^3) = log 8
Portanto a equação vira
lograiz(6x+5)(2x+7) = log 8

Passo 4

Como log U = log V implica U=V (com U>0 e V>0), obtemos
raiz(6x+5)(2x+7) = 8
Elevando ao quadrado,
(6x+5)(2x+7) = 64
Expandindo e organizando,
12x^2 + 52x - 29 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara,
x = -52 pm raiz52^2 - 4cdot12cdot(-29)2cdot12 = -52 pm 6424,
de onde
x1 = tfrac1224 = tfrac12, x2 = tfrac-11624 = -tfrac296

Passo 5

Do domínio x>-tfrac56 só cabe x1=tfrac12. A raiz x2=-tfrac296 fica fora porque é menor que -tfrac56.

Resposta

x = tfrac12

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