Determine x para que a matriz A=\left[\begin{array}{cc}x & x+2 \\\\ 1 & x\end{array}\right] seja inversível.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de x que tornam a matriz
A = \begin{pmatrix} x & x+2\\\\ 1 & x \end{pmatrix}
inversível. O critério de invertibilidade para matrizes quadradas é que o determinante seja diferente de zero.

Passo 2

Vamos calcular o determinante de A usando a fórmula para matrizes 2\times2:
\det(A) = x\cdot x \;-\;1\cdot(x+2).
Logo,
\det(A) = x^2 - (x+2) = x^2 - x - 2.

Passo 3

Para descobrir quando \det(A)=0, resolvemos a equação
x^2 - x - 2 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-2) = 1 + 8 = 9,
logo as raízes são
x = \frac{1\pm\sqrt{9}}{2} = \frac{1\pm3}{2},
isto é,
x = 2 \quad\text{ou}\quad x = -1.

Passo 4

A matriz A é inversível se, e somente se, \det(A)\neq 0. Portanto devemos excluir os valores que anulam o determinante.

Resposta

A matriz A é inversível para todo
x \in \mathbb{R}\setminus\{-1,2\},
ou seja, x\neq -1 e x\neq2.

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