Determine x para que a matriz A=\left[\begin{array}{cc}x & x+2 \\\\ 1 & x\end{array}\right] seja inversível.

Passo 1

O enunciado pede os valores de x para que a matriz
A = \begin{pmatrix} x & x+2 \\\\ 1 & x \end{pmatrix}
seja inversível. O conteúdo necessário é usar a condição de invertibilidade de uma matriz 2\times 2 via seu determinante.

Passo 2

Para uma matriz genérica 2\times 2,
M = \begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix},
a condição de invertibilidade é
\det(M) \neq 0,
onde
\det(M) = a \cdot d - b \cdot c.

Passo 3

No nosso caso, a = x, b = x+2, c = 1 e d = x. Logo,
\det(A) = x\cdot x - (x+2)\cdot 1 = x^2 - x -2.
Fatorando, obtemos
x^2 - x -2 = (x-2)\,(x+1).

Passo 4

Para que A seja inversível, precisamos de
\det(A)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-2)\,(x+1)\neq 0.
Isso ocorre exatamente quando
x \neq 2 \quad\text{e}\quad x \neq -1.

Resposta

A matriz A é inversível para todos os x tais que x\neq 2 e x\neq -1.

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