Quais os valores de a as transformações são diagonalizáveis: \left(\begin{array}{ll}1 & a \\\\ 0 & 1\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais valores de a a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & a \\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}
é diagonalizável. O conteúdo é diagonalização de matrizes de ordem 2: uma matriz é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) coincide com a multiplicidade algébrica.]
Passo 2
Vamos achar o polinômio característico de A. Por definição,
Logo o único autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2.]
Passo 3
Agora encontramos o espaço próprio associado a \lambda=1. Resolvemos
(A - I)x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix}1-1 & a \\[3pt]0 & 1-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & a \\[3pt]0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Isso dá a única equação
a\,x_{2}=0.]
Passo 4
Analisando a\,x_{2}=0:
Se a\neq 0, então x_{2}=0 e x_{1} é livre. O espaço próprio tem dimensão 1.
Se a=0, não há restrição em x_{1} nem em x_{2}. O espaço próprio tem dimensão 2.
Passo 5
Para a matriz ser diagonalizável precisamos que a dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) seja igual à multiplicidade algébrica, isto é, 2. Isso ocorre somente quando a=0.