(2,0 pts) Sejam \beta=\{(-1,0,2),(0,2,0),(0,0,1)\} e \alpha=\{(0,0,1),(0,-2,1),(1,0,-1)\} duas bases do \mathbb{R}^{3}. Determine [I]_{\alpha}^{\beta} e [I]_{\beta}^{\alpha}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases do espaço \mathbb{R}^3:
\beta=\{\,(-1,0,2),(0,2,0),(0,0,1)\} e
\alpha=\{(0,0,1),(0,-2,1),(1,0,-1)\}.
O objetivo é encontrar as matrizes de mudança de base
[I]_{\alpha}^{\beta} e [I]_{\beta}^{\alpha}, onde
[I]_{\alpha}^{\beta} leva coordenadas em \alpha para coordenadas em \beta,
e [I]_{\beta}^{\alpha} faz o inverso. Para isso, precisamos montar as matrizes cujas colunas são os vetores de cada base no sistema canônico, calcular inversas e multiplicar.

Passo 2

Montamos a matriz cujas colunas são os vetores de \alpha no sistema canônico e a matriz das colunas de \beta.
P = \bigl[\, [a_1]_{\text{can}} \;\;[a_2]_{\text{can}}\;\;[a_3]_{\text{can}}\bigr] = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & -2 & 0\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix},
Q = \bigl[\, [b_1]_{\text{can}} \;\;[b_2]_{\text{can}}\;\;[b_3]_{\text{can}}\bigr] = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para qualquer vetor v, se [v]_{\alpha}=x e [v]_{\beta}=y, temos
v = P\,x = Q\,y.
Logo
y = Q^{-1}P\,x,
então
[I]_{\alpha}^{\beta}=Q^{-1}P.
Primeiro encontramos Q^{-1} resolvendo
Q\,y = v \;\Longrightarrow\; y_1=-v_1,\;y_2=\tfrac12v_2,\;y_3=v_3+2v_1,
ou seja
Q^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 0 & \tfrac12 & 0\\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora calculamos
[I]_{\alpha}^{\beta} = Q^{-1}P = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 0 & \tfrac12 & 0\\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & -2 & 0\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Sabendo que [I]_{\beta}^{\alpha} é a inversa de [I]_{\alpha}^{\beta}, invertemos
M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante é \det M=-1 e o adjunto leva à inversa
[I]_{\beta}^{\alpha} = M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

[I]_{\alpha}^{\beta} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad [I]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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