(2,0 pts) Sejam \beta=\{(-1,0,2),(0,2,0),(0,0,1)\} e \alpha=\{(0,0,1),(0,-2,1),(1,0,-1)\} duas bases do \mathbb{R}^{3}. Determine [I]_{\alpha}^{\beta} e [I]_{\beta}^{\alpha}.
Passo 1
O enunciado dá duas bases do espaço \mathbb{R}^3: \beta=\{\,(-1,0,2),(0,2,0),(0,0,1)\} e \alpha=\{(0,0,1),(0,-2,1),(1,0,-1)\}.
O objetivo é encontrar as matrizes de mudança de base [I]_{\alpha}^{\beta} e [I]_{\beta}^{\alpha}, onde [I]_{\alpha}^{\beta} leva coordenadas em \alpha para coordenadas em \beta,
e [I]_{\beta}^{\alpha} faz o inverso. Para isso, precisamos montar as matrizes cujas colunas são os vetores de cada base no sistema canônico, calcular inversas e multiplicar.
Passo 2
Montamos a matriz cujas colunas são os vetores de \alpha no sistema canônico e a matriz das colunas de \beta.