3- Determine E(X), onde X é o resultado que obtemos quando rolamos um dado honesto.

Passo 1

O enunciado pede para determinar E(X), onde X é o resultado obtido ao lançar um dado honesto (um único lançamento). Informações dadas e o que isso significa:
  • O espaço amostral é \{1,2,3,4,5,6\}.
  • O dado é honesto, então cada face tem a mesma probabilidade: para cada k\in\{1,\dots,6\}, P(X=k)=\frac{1}{6}.
  • A pergunta é: qual é o valor esperado (ou esperança) de X, ou seja, o “médio” teórico do resultado do lançamento.

Passo 2

O que é e como calcular a esperança de uma variável aleatória discreta: a definição
  • Para uma variável aleatória discreta X que assume valores x_1,x_2,\dots,x_n com probabilidades correspondentes p_1,p_2,\dots,p_n, a esperança (valor esperado) é dada por
E(X)=\sum_{i=1}^{n} x_i \, p_i.
  • Aqui cada termo x_i p_i é o valor x_i ponderado pela probabilidade de ocorrer. A soma dá o “peso médio” dos valores.
  • Explicando os símbolos: E(X) é a esperança de X; x_i são os valores possíveis de X; p_i=P(X=x_i) é a probabilidade de cada valor.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso do dado honesto
  • No nosso caso os valores são 1,2,3,4,5,6 e cada probabilidade é \frac{1}{6}.
  • Pela fórmula,
E(X)=\sum_{k=1}^{6} k \cdot P(X=k).

Passo 4

Substituindo as probabilidades iguais \frac{1}{6}
  • Como P(X=k)=\frac{1}{6} para todo k,
E(X)=\sum_{k=1}^{6} k\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{6} k.
  • Agora precisamos calcular \sum_{k=1}^{6} k, ou seja 1+2+3+4+5+6.

Passo 5

Calculando a soma \sum_{k=1}^{6} k de forma simples (método de Gauss/pareamento)
  • Uma maneira rápida é parear o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, etc. Temos:
    • 1+6=7,
    • 2+5=7,
    • 3+4=7.
  • São 3 pares com soma 7 cada, logo
1+2+3+4+5+6 = 3\cdot 7 = 21.
  • Também existe a fórmula geral para a soma dos primeiros n inteiros: \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}. Aqui com n=6 \frac{6\cdot7}{2}=21.

Passo 6

Concluindo o cálculo da esperança
  • Voltando à expressão de E(X):
E(X)=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{6} k = \frac{1}{6}\cdot 21 = \frac{21}{6}.
  • Simplificando a fração \frac{21}{6}:
    • Dividindo numerador e denominador por 3 obtemos \frac{7}{2}.
    • Em forma decimal isso é 3{,}5.

Passo 7

Interpretação e dica prática para a prova
  • O valor esperado E(X)=\frac{7}{2}=3{,}5 é o valor médio teórico que se espera em muitos lançamentos do dado: se você lançar o dado muitas vezes e fizer a média dos resultados, essa média tende a aproximar-se de 3{,}5.
  • Observação importante: 3{,}5 não é um resultado possível num único lançamento (não aparece em nenhuma face), mas é o valor médio.
  • Dica para a prova: memorize a fórmula E(X)=\sum x_i p_i e, para soma de inteiros consecutivos, use o pareamento (Gauss) ou \frac{n(n+1)}{2} para economizar tempo e evitar calculadora.

Resposta

\displaystyle E(X)=\frac{7}{2}=3{,}5

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