3- Determine
, onde
é o resultado que obtemos quando rolamos um dado honesto.
Passo 1
O enunciado pede para determinar
, onde
é o resultado obtido ao lançar um dado honesto (um único lançamento). Informações dadas e o que isso significa:
- O espaço amostral é
. - O dado é honesto, então cada face tem a mesma probabilidade: para cada
, . - A pergunta é: qual é o valor esperado (ou esperança) de
, ou seja, o “médio” teórico do resultado do lançamento.
Passo 2
O que é e como calcular a esperança de uma variável aleatória discreta: a definição
- Para uma variável aleatória discreta
que assume valores com probabilidades correspondentes , a esperança (valor esperado) é dada por
- Aqui cada termo
é o valor ponderado pela probabilidade de ocorrer. A soma dá o “peso médio” dos valores. - Explicando os símbolos:
é a esperança de ; são os valores possíveis de ; é a probabilidade de cada valor.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso do dado honesto
- No nosso caso os valores são
e cada probabilidade é . - Pela fórmula,
Passo 4
Substituindo as probabilidades iguais
- Como
para todo ,
- Agora precisamos calcular
, ou seja .
Passo 5
Calculando a soma
de forma simples (método de Gauss/pareamento)
- Uma maneira rápida é parear o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, etc. Temos:
-
, -
, -
.
-
- São
pares com soma cada, logo
- Também existe a fórmula geral para a soma dos primeiros
inteiros: . Aqui com dá .
Passo 6
Concluindo o cálculo da esperança
- Voltando à expressão de
:
- Simplificando a fração
: - Dividindo numerador e denominador por
obtemos . - Em forma decimal isso é
.
- Dividindo numerador e denominador por
Passo 7
Interpretação e dica prática para a prova
- O valor esperado
é o valor médio teórico que se espera em muitos lançamentos do dado: se você lançar o dado muitas vezes e fizer a média dos resultados, essa média tende a aproximar-se de . - Observação importante:
não é um resultado possível num único lançamento (não aparece em nenhuma face), mas é o valor médio. - Dica para a prova: memorize a fórmula
e, para soma de inteiros consecutivos, use o pareamento (Gauss) ou para economizar tempo e evitar calculadora.