- Sejam
e
. Escreva todas as funções
possíveis. Diga quais são injetivas e quais são sobrejetivas, se houver alguma. (Dica: São oito funções, no total).
Passo 1
O enunciado dá:
E pede duas coisas:
- Escrever todas as funções
possíveis. - Dizer quais são injetivas e quais são sobrejetivas (se houver).
Informações relevantes que extraí do enunciado:
- Cada função
atribui a cada elemento de um elemento de . - Como
tem elementos e tem , cada é determinada escolhendo, para cada um dos elementos de , uma das opções em .
Passo 2
Quantas funções existem no total? Vou justificar devagarinho, como num gabarito explicado.
Conceito usado: se um conjunto
tem
elementos e
tem
elementos, o número total de funções
é
porque para cada um dos
elementos escolhemos independentemente uma das
imagens.
Aqui
e
, então o total é
Isso bate com a dica do enunciado (“São oito funções, no total”).
Passo 3
Vou explicar os conceitos de injetiva e sobrejetiva, em linguagem simples, antes de aplicar:
Definição de injetiva (passo a passo):
- Uma função
é injetiva se valores diferentes de entrada têm imagens diferentes. - Em fórmulas:
é injetiva se para todo , implica . - Uma consequência prática (e muito útil em prova): se
então não existe função injetiva . Isso é pelo princípio da casa dos pombos: há mais entradas do que possíveis imagens, então alguma imagem teria que repetir.
Aplicando aqui:
e
. Como
, concluímos imediatamente que NÃO existem funções injetivas de
em
. Ou seja, nenhuma das oito funções é injetiva.
Passo 4
Definição de sobrejetiva (passo a passo):
- Uma função
é sobrejetiva (ou “sobre”) se cada elemento de é imagem de pelo menos um elemento de . - Em fórmulas:
é sobrejetiva se para todo existe tal que . - Aqui, como
, para ser sobrejetiva uma função precisa ter pelo menos um elemento do domínio que vá para e pelo menos um que vá para . Ou seja, as imagens de não podem ser todas iguais (não podem ser todas nem todas ).
Contagem rápida: das
funções totais, as que não são sobrejetivas são exatamente as constantes (todas as entradas vão para
ou todas vão para
), que são
funções. Então o número de funções sobrejetivas é
Passo 5
Agora escrevo todas as
funções, de forma organizada. Para ficar compacto eu escrevo cada função indicando as imagens em ordem
. Essas tuplas significam: primeira coordenada é
, segunda é
, terceira é
.
As oito funções são:
Isto significa, por exemplo, que
.
Passo 6
Agora verifico injetividade e sobrejetividade de cada
.
Primeiro injetividade: como expliquei no Passo 3, por contagem nenhuma função é injetiva (há 3 elementos no domínio e só 2 possíveis imagens). Então:
- Injetivas: nenhuma.
Agora sobrejetividade: preciso checar se tanto
quanto
aparecem entre as imagens.
-
: imagens somente . Não é sobrejetiva. -
: imagens . É sobrejetiva. -
: imagens . É sobrejetiva. -
: imagens . É sobrejetiva. -
: imagens . É sobrejetiva. -
: imagens . É sobrejetiva. -
: imagens . É sobrejetiva. -
: imagens somente . Não é sobrejetiva.
Portanto, exatamente
são sobrejetivas (são as
que não são constantes).
Passo 7
Resumo didático rápido para a prova (dica amiga):
- Para contar funções use
. - Para decidir existência de injetiva compare tamanhos: se
então não tem injetiva. - Para decidir sobrejetiva cheque se a imagem atinge todos os elementos de
; com poucos elementos é rápido inspecionar as tuplas.
Resposta
Injetivas: nenhuma.
Sobrejetivas: .
Sobrejetivas: