1. Sejam A=\{1,2,3\} e B=\{4,5\}. Escreva todas as funções f: A \rightarrow B possíveis. Diga quais são injetivas e quais são sobrejetivas, se houver alguma. (Dica: São oito funções, no total).

Passo 1

O enunciado dá:
A=\{1,2,3\},\qquad B=\{4,5\}
E pede duas coisas:
  1. Escrever todas as funções f:A\to B possíveis.
  2. Dizer quais são injetivas e quais são sobrejetivas (se houver).
Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • Cada função f atribui a cada elemento de A um elemento de B.
  • Como A tem 3 elementos e B tem 2, cada f é determinada escolhendo, para cada um dos 3 elementos de A, uma das 2 opções em B.

Passo 2

Quantas funções existem no total? Vou justificar devagarinho, como num gabarito explicado.
Conceito usado: se um conjunto A tem |A| elementos e B tem |B| elementos, o número total de funções f:A\to B é
|B|^{|A|},
porque para cada um dos |A| elementos escolhemos independentemente uma das |B| imagens.
Aqui |A|=3 e |B|=2, então o total é
2^{3}=8.
Isso bate com a dica do enunciado (“São oito funções, no total”).

Passo 3

Vou explicar os conceitos de injetiva e sobrejetiva, em linguagem simples, antes de aplicar:
Definição de injetiva (passo a passo):
  • Uma função f:A\to B é injetiva se valores diferentes de entrada têm imagens diferentes.
  • Em fórmulas: f é injetiva se para todo x,y\in A, x\neq y implica f(x)\neq f(y).
  • Uma consequência prática (e muito útil em prova): se |A|>|B| então não existe função injetiva A\to B. Isso é pelo princípio da casa dos pombos: há mais entradas do que possíveis imagens, então alguma imagem teria que repetir.
Aplicando aqui: |A|=3 e |B|=2. Como 3>2, concluímos imediatamente que NÃO existem funções injetivas de A em B. Ou seja, nenhuma das oito funções é injetiva.

Passo 4

Definição de sobrejetiva (passo a passo):
  • Uma função f:A\to B é sobrejetiva (ou “sobre”) se cada elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A.
  • Em fórmulas: f é sobrejetiva se para todo b\in B existe a\in A tal que f(a)=b.
  • Aqui, como B=\{4,5\}, para ser sobrejetiva uma função precisa ter pelo menos um elemento do domínio que vá para 4 e pelo menos um que vá para 5. Ou seja, as imagens de 1,2,3 não podem ser todas iguais (não podem ser todas 4 nem todas 5).
Contagem rápida: das 8 funções totais, as que não são sobrejetivas são exatamente as constantes (todas as entradas vão para 4 ou todas vão para 5), que são 2 funções. Então o número de funções sobrejetivas é
8-2=6.

Passo 5

Agora escrevo todas as 8 funções, de forma organizada. Para ficar compacto eu escrevo cada função indicando as imagens em ordem (f(1),f(2),f(3)). Essas tuplas significam: primeira coordenada é f(1), segunda é f(2), terceira é f(3).
As oito funções são:
\begin{aligned} f_{1} &= (4,4,4),\\\ f_{2} &= (4,4,5),\\\ f_{3} &= (4,5,4),\\\ f_{4} &= (4,5,5),\\\ f_{5} &= (5,4,4),\\\ f_{6} &= (5,4,5),\\\ f_{7} &= (5,5,4),\\\ f_{8} &= (5,5,5). \end{aligned}
Isto significa, por exemplo, que f_{3}(1)=4,\; f_{3}(2)=5,\; f_{3}(3)=4.

Passo 6

Agora verifico injetividade e sobrejetividade de cada f_{i}.
Primeiro injetividade: como expliquei no Passo 3, por contagem nenhuma função é injetiva (há 3 elementos no domínio e só 2 possíveis imagens). Então:
  • Injetivas: nenhuma.
Agora sobrejetividade: preciso checar se tanto 4 quanto 5 aparecem entre as imagens.
  • f_{1}=(4,4,4): imagens somente \{4\}. Não é sobrejetiva.
  • f_{2}=(4,4,5): imagens \{4,5\}. É sobrejetiva.
  • f_{3}=(4,5,4): imagens \{4,5\}. É sobrejetiva.
  • f_{4}=(4,5,5): imagens \{4,5\}. É sobrejetiva.
  • f_{5}=(5,4,4): imagens \{4,5\}. É sobrejetiva.
  • f_{6}=(5,4,5): imagens \{4,5\}. É sobrejetiva.
  • f_{7}=(5,5,4): imagens \{4,5\}. É sobrejetiva.
  • f_{8}=(5,5,5): imagens somente \{5\}. Não é sobrejetiva.
Portanto, exatamente f_{2},f_{3},f_{4},f_{5},f_{6},f_{7} são sobrejetivas (são as 6 que não são constantes).

Passo 7

Resumo didático rápido para a prova (dica amiga):
  • Para contar funções use |B|^{|A|}.
  • Para decidir existência de injetiva compare tamanhos: se |A|>|B| então não tem injetiva.
  • Para decidir sobrejetiva cheque se a imagem atinge todos os elementos de B; com poucos elementos é rápido inspecionar as tuplas.

Resposta

\begin{aligned} f_{1} &= (4,4,4),\\\ f_{2} &= (4,4,5),\\\ f_{3} &= (4,5,4),\\\ f_{4} &= (4,5,5),\\\ f_{5} &= (5,4,4),\\\ f_{6} &= (5,4,5),\\\ f_{7} &= (5,5,4),\\\ f_{8} &= (5,5,5). \end{aligned}
Injetivas: nenhuma.
Sobrejetivas: f_{2},\,f_{3},\,f_{4},\,f_{5},\,f_{6},\,f_{7}.

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