Sejam
, definidas por
e
. Defina as funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá duas funções
com as regras
e
A pergunta que precisamos responder é: definir a função
, ou seja, escrever explicitamente a regra que associa cada
ao valor
. As informações relevantes são apenas a definição de
e que o domínio/codominio é
.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa composição de funções. Se
e
são funções com domínios compatíveis, então
Isto significa: primeiro aplico
em
(isso dá um número), e em seguida aplico
ao resultado. No nosso caso queremos
, portanto usamos a fórmula acima com
e
:
Passo 3
Agora substituímos a definição de
. Sabemos que
. Então primeiro calculemos a parte interna:
Substituímos isso na composição:
Aqui estamos aplicando a regra de
ao número
.
Passo 4
Aplicar a regra
a
significa substituir a variável por
na expressão
. Então
Agora simplificamos a soma:
Passo 5
Concluímos que, para todo
,
Observação prática (útil na prova): isso também mostra que
é uma função de
em
, pois somar
a um natural dá outro natural. Exemplo numérico para fixar: se
, então
e
, logo
, que bate com
.
Passo 6
Dica extra para a prova: iterações de
seguem um padrão simples. Definindo
como
-ésima composição de
com ela mesma, temos
o que pode ser provado por indução (base
é
; passo indutivo:
).