Sejam \mathrm{f}, \mathrm{g}: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{N}, definidas por \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+1 e \mathrm{g}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}. Defina as funções abaixo:
f \circ f

Passo 1

O enunciado dá duas funções \mathrm{f},\mathrm{g}:\mathbb{N}\to\mathbb{N} com as regras
\mathrm{f}(x)=x+1
e
\mathrm{g}(x)=3x.
A pergunta que precisamos responder é: definir a função \mathrm{f}\circ\mathrm{f}, ou seja, escrever explicitamente a regra que associa cada x\in\mathbb{N} ao valor (\mathrm{f}\circ\mathrm{f})(x). As informações relevantes são apenas a definição de \mathrm{f} e que o domínio/codominio é \mathbb{N}.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa composição de funções. Se h e k são funções com domínios compatíveis, então
(h\circ k)(x)=h\big(k(x)\big).
Isto significa: primeiro aplico k em x (isso dá um número), e em seguida aplico h ao resultado. No nosso caso queremos (\mathrm{f}\circ\mathrm{f})(x), portanto usamos a fórmula acima com h=\mathrm{f} e k=\mathrm{f}:
(\mathrm{f}\circ\mathrm{f})(x)=\mathrm{f}\big(\mathrm{f}(x)\big).

Passo 3

Agora substituímos a definição de \mathrm{f}. Sabemos que \mathrm{f}(x)=x+1. Então primeiro calculemos a parte interna:
\mathrm{f}(x)=x+1.
Substituímos isso na composição:
(\mathrm{f}\circ\mathrm{f})(x)=\mathrm{f}\big(x+1\big).
Aqui estamos aplicando a regra de \mathrm{f} ao número x+1.

Passo 4

Aplicar a regra \mathrm{f} a x+1 significa substituir a variável por x+1 na expressão t\mapsto t+1. Então
\mathrm{f}\big(x+1\big)=(x+1)+1.
Agora simplificamos a soma:
(x+1)+1 = x+2.

Passo 5

Concluímos que, para todo x\in\mathbb{N},
(\mathrm{f}\circ\mathrm{f})(x)=x+2.
Observação prática (útil na prova): isso também mostra que \mathrm{f}\circ\mathrm{f} é uma função de \mathbb{N} em \mathbb{N}, pois somar 2 a um natural dá outro natural. Exemplo numérico para fixar: se x=5, então \mathrm{f}(5)=6 e \mathrm{f}(6)=7, logo (\mathrm{f}\circ\mathrm{f})(5)=7, que bate com 5+2=7.

Passo 6

Dica extra para a prova: iterações de \mathrm{f} seguem um padrão simples. Definindo \mathrm{f}^n como n-ésima composição de \mathrm{f} com ela mesma, temos
\mathrm{f}^n(x)=x+n,
o que pode ser provado por indução (base n=1 é \mathrm{f}(x)=x+1; passo indutivo: \mathrm{f}^{n+1}(x)=\mathrm{f}(\mathrm{f}^n(x))=\mathrm{f}(x+n)=x+n+1).

Resposta

\mathrm{f}\circ\mathrm{f}(x)=x+2

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