Determine para que a série seja convergente. (Convencionaremos aqui que .)
Passo 1
Entendendo a Questão
Vamos resolver um exercício de séries infinitas, que é um tema de Cálculo. A questão nos pede para determinar os valores de para os quais a seguinte série converge:
Para resolver isso, vamos precisar entender como testar a convergência de séries e manipular produtos de termos envolvendo fatoriais.
Passo 2
Simplificando os Produtos
Primeiro, vamos simplificar os produtos do numerador e do denominador. Observe que:
Então, podemos reescrever a fração:
Passo 3
Reescrevendo a Série
Com essa simplificação, nossa série fica:
Agora, vamos focar em encontrar o raio de convergência dessa série usando o Teste da Razão.
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão
O Teste da Razão nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge. Aplicamos o limite:
Se an+1 = (2(n+1))!(2^n+1 cdot (n+1)!)^2 cdot x^2(n+1)+12(n+1)+1 = (2n+2)!(2^n+1 cdot (n+1)!)^2 cdot x^2n+32n+3 , a série converge; se an+1an = (2n+2)!(2^n+1 cdot (n+1)!)^2 cdot x^2n+32n+3 cdot (2^n cdot n!)^2(2n)! cdot 2n+1x^2n+1 , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty 2n+1n+1 cdot x^22n+3 = limn to infty 2nn cdot x^22n = limn to infty 22 cdot x^21 = x^2 tende ao infinito:
Passo 7
Determinando a Convergência
Para que a série convirja, precisamos que x^2 < 1 implies |x| < 1 :
Portanto, a série converge para todos os valores de cujo módulo é menor que 1.
Resposta
A série converge para todos os valores de tais que .