Determine x para que a série seja convergente. (Convencionaremos aqui que 0^0=1.)
sumn=1^+infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot 2 n cdot x^2 n+12 n+1

Passo 1

Entendendo a Questão
Vamos resolver um exercício de séries infinitas, que é um tema de Cálculo. A questão nos pede para determinar os valores de sumn=1^+infty 1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot 2n cdot x^2n+12n+1 para os quais a seguinte série converge:
Para resolver isso, vamos precisar entender como testar a convergência de séries e manipular produtos de termos envolvendo fatoriais.

Passo 2

Simplificando os Produtos
Primeiro, vamos simplificar os produtos do numerador e do denominador. Observe que:
1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot (2n-1) = (2n)!2^n cdot n!
2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot 2n = 2^n cdot n!
Então, podemos reescrever a fração:
1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot 2n = (2n)!2^n cdot n!2^n cdot n! = (2n)!(2^n cdot n!)^2

Passo 3

Reescrevendo a Série
Com essa simplificação, nossa série fica:
sumn=1^+infty (2n)!(2^n cdot n!)^2 cdot x^2n+12n+1
Agora, vamos focar em encontrar o raio de convergência dessa série usando o Teste da Razão.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão
O Teste da Razão nos ajuda a determinar para quais valores de L = limn to infty | an+1an | a série converge. Aplicamos o limite:
an = (2n)!(2^n cdot n!)^2 cdot x^2n+12n+1
Se an+1 = (2(n+1))!(2^n+1 cdot (n+1)!)^2 cdot x^2(n+1)+12(n+1)+1 = (2n+2)!(2^n+1 cdot (n+1)!)^2 cdot x^2n+32n+3 , a série converge; se an+1an = (2n+2)!(2^n+1 cdot (n+1)!)^2 cdot x^2n+32n+3 cdot (2^n cdot n!)^2(2n)! cdot 2n+1x^2n+1 , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular :
E :
Agora, vamos formar a razão :

Passo 5

Simplificando a Razão
Vamos simplificar a expressão:
an+1an = (2n+2)(2n+1)(2n)!(2^n+1)(n+1)^2 n!^2 cdot x^2n+32n+3 cdot 2^n n!^2(2n)! cdot 2n+1x^2n+1
Cancelando termos semelhantes:
= (2n+2)(2n+1)2^n+1(n+1)^2 cdot x^2 x2n+3 cdot 2^n cdot 2n+1x^2n+1 cdot x^2n+3 - (2n+1) = (2n+2)(2n+1)2(n+1)^2 cdot x^22n+3
Simplificando mais:
= 2(n+1)(2n+1)2(n+1)^2 cdot x^22n+3 = 2n+1n+1 cdot x^22n+3

Passo 6

Calculando o Limite
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty 2n+1n+1 cdot x^22n+3 = limn to infty 2nn cdot x^22n = limn to infty 22 cdot x^21 = x^2 tende ao infinito:

Passo 7

Determinando a Convergência
Para que a série convirja, precisamos que x^2 < 1 implies |x| < 1 :
Portanto, a série converge para todos os valores de cujo módulo é menor que 1.

Resposta

A série converge para todos os valores de tais que .

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