Determine x e y para que as matrizes A e B comutem, sendo
A=[ll 1 & 2 1 & 0 ] e B=[ll 0 & 1 x & y ]

Passo 1

O enunciado pede determinar x e y para que as matrizes A e B comutem, isto é, para que
AB = BA
O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes em R^2times2 e igualdade de matrizes entrada a entrada.

Passo 2

Vamos calcular o produto AB:
AB = 1 & 2 [6pt] 1 & 0 0 & 1 [3pt] x & y = 1cdot0 + 2cdot x & 1cdot1 + 2cdot y [6pt] 1cdot0 + 0cdot x & 1cdot1 + 0cdot y = 2x & 1 + 2y [3pt] 0 & 1 ]

Passo 3

Agora calculamos o produto BA:
BA = 0 & 1 [3pt] x & y 1 & 2 [3pt] 1 & 0 = 0cdot1 + 1cdot1 & 0cdot2 + 1cdot0 [6pt] xcdot1 + ycdot1 & xcdot2 + ycdot0 = 1 & 0 [3pt] x + y & 2x ]

Passo 4

Para que
As duas equações são equivalentes, de modo que basta resolver
]

Passo 5

Da primeira equação vem
x = 12
Da segunda,
1 + 2y = 0 implies y = -12
Finalmente, verifica-se que x+y=tfrac12 - tfrac12 = 0, de modo que a terceira equação também se satisfaz.

Resposta

x = tfrac12, y = -tfrac12.

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