Utilize a Fórmula Integral de Cauchy para calcular a seguinte integral
onde
é um círculo centrado na origem do sistema de coordenadas e com raio
. Essa questão foi adaptada de uma questão do capítulo 9 do livro Mathematical Physics: A Introduction to its Foundations do Sadri Hassani.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
é o círculo
, usando a Fórmula Integral de Cauchy. O conteúdo aqui é a aplicação da fórmula
que vale sempre que
for analítica em e dentro de
.
Passo 2
O integrando tem singularidades (pólos) nos zeros do denominador:
(polo simples) e
(pólos de ordem 3 de
).
Como e
, só
fica dentro de
.
Como
Passo 3
Escrevemos
onde
é analítica em
. Assim, pela Fórmula Integral de Cauchy,
Passo 4
Calculamos
Passo 5
Substituindo em
obtemos