Utilize a Fórmula Integral de Cauchy para calcular a seguinte integral
I=ointC (z^2-1) d z(z-12)(z^2-4)^3,
onde C é um círculo centrado na origem do sistema de coordenadas e com raio r=1. Essa questão foi adaptada de uma questão do capítulo 9 do livro Mathematical Physics: A Introduction to its Foundations do Sadri Hassani.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I=ointC(z^2-1),dzl(z-tfrac12l),(z^2-4)^3,
onde C é o círculo lvert zrvert=1, usando a Fórmula Integral de Cauchy. O conteúdo aqui é a aplicação da fórmula
ointCf(z)z-a,dz=2pi i,f(a),
que vale sempre que f for analítica em e dentro de C.

Passo 2

O integrando tem singularidades (pólos) nos zeros do denominador:
,z=tfrac12 (polo simples) e z=pm2 (pólos de ordem 3 de (z^2-4)^3).
Como lverttfrac12rvert<1 e lvertpm2rvert>1, só z0=tfrac12 fica dentro de C.

Passo 3

Escrevemos
I=ointCf(z)z-tfrac12,dz, f(z)=z^2-1(z^2-4)^3,
onde f é analítica em lvert zrvert<=1. Assim, pela Fórmula Integral de Cauchy,
I=2pi i,fl(tfrac12r)

Passo 4

Calculamos
fl(tfrac12r) =l(tfrac14-1r)l(tfrac14-4r)^3 =-tfrac34l(-tfrac154r)^3 =-tfrac34-tfrac337564 =tfrac34cdot643375 =483375 =161125

Passo 5

Substituindo em I=2pi i,f(tfrac12) obtemos
I=2pi i;161125

Resposta

I = 32pi i1125

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