Resolva o sistema linear pelo método de Gauss-Jordan. Indique todas as operações elementares realizadas.
l x1+x2+x3+x4= 6 2 x1+3 x2-x4=0 -3 x1+4 x2+x3+2 x4=4, 2 x1+2 x2-x3+x4=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
x1+x2+x3+x4=6, 2x1+3x2-x4=0, -3x1+4x2+x3+2x4=4, 2x1+2x2-x3+x4=0
pelo método de Gauss–Jordan, ou seja, transformando a matriz aumentada em forma reduzida por linhas usando operações elementares.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada inicial como
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 6 2 & 3 & 0 & -1 & 0 -3 & 4 & 1 & 2 & 4 2 & 2 & -1 & 1 & 0 ]

Passo 3

Usamos a primeira linha como pivô para zerar a coluna 1 nas linhas 2 a 4:
R2 R2-2R1, R3 R3+3R1, R4 R4-2R1
Isso leva a
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 6 0 & 1 & -2 & -3 & -12 0 & 7 & 4 & 5 & 22 0 & 0 & -3 & -1 & -12 ]

Passo 4

Agora usamos a segunda linha como pivô para zerar a coluna 2 nas linhas 1 e 3 (a linha 4 já está zero nessa coluna):
R1 R1-R2, R3 R3-7R2
Ficamos com
[cccc|c 1 & 0 & 3 & 4 & 18 0 & 1 & -2 & -3 & -12 0 & 0 & 18 & 26 & 106 0 & 0 & -3 & -1 & -12 ]

Passo 5

Escalonamos a terceira linha e zeramos a coluna 3 nas demais linhas:
R3 tfrac118R3Longrightarrow R3=[0,0,1,tfrac139,vert,tfrac539]
R1 R1-3R3, R2 R2+2R3, R4 R4+3R3
Isso resulta em
[cccc|c 1 & 0 & 0 & -tfrac13 & tfrac13 0 & 1 & 0 & -tfrac19 & -tfrac29 0 & 0 & 1 & tfrac139 & tfrac539 0 & 0 & 0 & tfrac103 & tfrac173 ]

Passo 6

Finalmente, escalonamos a quarta linha e zeramos a coluna 4 nas linhas acima:
R4 tfrac310R4Longrightarrow R4=[0,0,0,1,vert,tfrac1710]
R1 R1+tfrac13R4, R2 R2+tfrac19R4, R3 R3-tfrac139R4
Chegamos à forma reduzida
[cccc|c 1 & 0 & 0 & 0 & tfrac910 0 & 1 & 0 & 0 & -tfrac130 0 & 0 & 1 & 0 & tfrac10330 0 & 0 & 0 & 1 & tfrac1710 ]

Resposta

x1=tfrac910, x2=-tfrac130, x3=tfrac10330, x4=tfrac1710

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