Determine y=y(x) que satisfaça as condições dadas.
y^{\prime}=y^{2}-4 e y(1)=2.

Passo 1

O enunciado pede a solução de primeira ordem
y' = y^2 - 4,
com condição inicial y(1)=2.
O conteúdo aqui é equação diferencial separável.

Passo 2

Antes de tudo, vale verificar soluções constantes y' = 0:
y^2 - 4 = 0 \;\Longrightarrow\; y = 2 \quad\text{ou}\quad y = -2.
Como a condição inicial é y(1)=2, a solução constante y(x)=2 já satisfaz imediatamente o problema.

Passo 3

Para ver se existe outra solução não-constante, separamos variáveis:
\frac{dy}{y^2 - 4} = dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Para a integral do lado esquerdo usamos frações parciais:
\frac{1}{y^2-4} = \frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y+2}\Bigr).
Logo
\int \frac{dy}{y^2-4} = \frac{1}{4}\int\Bigl(\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y+2}\Bigr)\,dy = \frac{1}{4}\ln\Bigl|\frac{y-2}{y+2}\Bigr| + C.
Do outro lado,
\int dx = x + C_1.

Passo 5

Juntando as integrais, obtemos a forma implícita
\frac{1}{4}\ln\Bigl|\frac{y-2}{y+2}\Bigr| = x + C_2.
Multiplicando por 4 e exponenciando,
\ln\Bigl|\frac{y-2}{y+2}\Bigr| = 4x + K \quad\Longrightarrow\quad \frac{y-2}{y+2} = A e^{4x},
onde A=e^K.
Impondo y(1)=2:
\frac{2-2}{2+2} = 0 = A e^4 \;\Longrightarrow\; A = 0.
Isso força
\frac{y-2}{y+2}=0 \;\Longrightarrow\; y(x)=2.

Resposta

A única solução que satisfaz y' = y^2 -4 e y(1)=2 é
y(x) = 2.

Exercícios relacionados