Exercício 2.36. Calcule a curvatura das seguintes funções:
\vec{r}(t)=\left(\frac{4}{5} \cos t, 1-\operatorname{sen} t,-\frac{3}{5} \cos t\right);

Passo 1

O enunciado pede a curvatura de \displaystyle \vec r(t)=\Bigl(\tfrac{4}{5}\cos t,\;1-\sin t,\;-\tfrac{3}{5}\cos t\Bigr).
O conteúdo é cálculo de curvatura em \mathbb{R}^3, para o qual precisamos das derivadas \vec r'(t), \vec r''(t), do produto vetorial e da norma vetorial, usando a fórmula
\kappa(t)=\frac{\bigl\|\vec r'(t)\times\vec r''(t)\bigr\|}{\|\vec r'(t)\|^3}.

Passo 2

Calcular as derivadas de \vec r(t):
\vec r'(t)=\Bigl(-\tfrac{4}{5}\sin t,\;- \cos t,\;\tfrac{3}{5}\sin t\Bigr),
\vec r''(t)=\Bigl(-\tfrac{4}{5}\cos t,\;\sin t,\;\tfrac{3}{5}\cos t\Bigr).

Passo 3

Determinar o produto vetorial \vec r'(t)\times\vec r''(t). Fazendo o determinante, obtemos
\vec r'(t)\times\vec r''(t) =\Bigl(-\tfrac{3}{5},\;0,\;-\tfrac{4}{5}\Bigr)
e, portanto,
\bigl\|\vec r'(t)\times\vec r''(t)\bigr\| =\sqrt{\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr)^2+\bigl(-\tfrac{4}{5}\bigr)^2} =1.

Passo 4

Calcular a norma de \vec r'(t):
\|\vec r'(t)\|^2 =\Bigl(\tfrac{16}{25}\sin^2t+\cos^2t+\tfrac{9}{25}\sin^2t\Bigr) =\sin^2t+\cos^2t=1,
logo \|\vec r'(t)\|=1. Substituindo na fórmula da curvatura,
\kappa(t)=\frac{1}{1^3}=1.

Resposta

A curvatura é constante e vale
\kappa(t)=1.

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