Exercício 2.36. Calcule a curvatura das seguintes funções:
\vec{r}(t)=\left(\cos ^{3} t, \operatorname{sen}^{3} t\right).

Passo 1

O enunciado pede a curvatura da curva plana parametrizada por \displaystyle \vec r(t)=\bigl(\cos^3t,\;\sin^3t\bigr).
Em curvas planas com parametrização genérica por t, usamos a fórmula
\kappa(t)\;=\;\frac{\bigl|\,x'(t)\,y''(t)\;-\;y'(t)\,x''(t)\bigr|}{\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}},
onde x(t)=\cos^3t e y(t)=\sin^3t.

Passo 2

Vamos calcular x'(t) e y'(t) usando regra da cadeia:
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(\cos^3t\bigr) =3\cos^2t\cdot(-\sin t) =-3\sin t\cos^2t,
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(\sin^3t\bigr) =3\sin^2t\cdot\cos t =3\sin^2t\cos t.

Passo 3

Agora as segundas derivadas x''(t) e y''(t):
x''(t) =\frac{d}{dt}\bigl(-3\sin t\cos^2t\bigr) =-3\bigl(\cos t\cos^2t + \sin t\cdot2\cos t(-\sin t)\bigr) =-3\cos^3t +6\sin^2t\cos t,
y''(t) =\frac{d}{dt}\bigl(3\sin^2t\cos t\bigr) =3\bigl(2\sin t\cos t\cdot\cos t + \sin^2t\cdot(-\sin t)\bigr) =6\sin t\cos^2t -3\sin^3t.

Passo 4

Computamos o numerador da fórmula da curvatura:
x'y''-y'x'' =\bigl(-3\sin t\cos^2t\bigr)\bigl(6\sin t\cos^2t -3\sin^3t\bigr) -\bigl(3\sin^2t\cos t\bigr)\bigl(-3\cos^3t +6\sin^2t\cos t\bigr).
Fazendo as multiplicações e simplificando, chega-se a
x'y''-y'x''=-9\sin^2t\cos^2t,
então
\bigl|x'y''-y'x''\bigr|=9\sin^2t\cos^2t.

Passo 5

O denominador é
\bigl(x'^2+y'^2\bigr)^{3/2} =\bigl(9\sin^2t\cos^4t+9\sin^4t\cos^2t\bigr)^{3/2} =\bigl(9\sin^2t\cos^2t\bigl(\cos^2t+\sin^2t\bigr)\bigr)^{3/2} =\bigl(9\sin^2t\cos^2t\bigr)^{3/2} =27\,\lvert\sin t\cos t\rvert^3.

Passo 6

Substituindo no quociente da curvatura:
\kappa(t) =\frac{9\sin^2t\cos^2t}{27\,\lvert\sin t\cos t\rvert^3} =\frac{1}{3\,\lvert\sin t\cos t\rvert}.

Resposta

\boxed{\kappa(t)=\frac{1}{3\,\lvert\sin t\cos t\rvert},}
que, usando \sin2t=2\sin t\cos t, pode também ser escrita como
\kappa(t)=\frac{2}{3\,\lvert\sin2t\rvert}.

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