O enunciado pergunta se, para uma função de duas variáveis f(x,y), bastam apenas duas curvas \gamma_{1} e \gamma_{2} que tendem a (x_{0},y_{0}) e cujos limites de f sejam iguais a um valor L, para concluir que
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y)=L.
Em teoria de limites em várias variáveis, sabemos que a existência do limite exige que todas as formas de aproximação (todas as curvas ou sequências) forneçam o mesmo valor. Veremos que duas curvas não bastam, mostrando um contraexemplo.
Agora aproximemo-nos de (0,0) pela curva y=0, isto é, pelo ponto (t,0). Então
f(t,0)=\frac{t^{2}}{t^{2}+0^{2}}=1
para todo t\neq0. Assim
\lim_{t\to0}f(t,0)=1\neq\tfrac12,
o que mostra que o limite de f(x,y) em (0,0)não existe, ainda que em duas curvas específicas ele valha \tfrac12.
Resposta
A afirmação é falsa, pois basta encontrar um contraexemplo em que duas curvas deem o mesmo limite mas outras formas de aproximação deem valor diferente.