Sejam \gamma_{1} e \gamma_{2} curvas satisfazendo as condições do Exemplo 4. A afirmação:
" \lim _{t \rightarrow t_{0}} f\left(\gamma_{1}(t)\right)=\lim _{t \rightarrow t_{0}} f\left(\gamma_{2}(t)\right)=L \Rightarrow \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=L "
é falsa ou verdadeira? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para uma função de duas variáveis f(x,y), bastam apenas duas curvas \gamma_{1} e \gamma_{2} que tendem a (x_{0},y_{0}) e cujos limites de f sejam iguais a um valor L, para concluir que
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y)=L.
Em teoria de limites em várias variáveis, sabemos que a existência do limite exige que todas as formas de aproximação (todas as curvas ou sequências) forneçam o mesmo valor. Veremos que duas curvas não bastam, mostrando um contra­exemplo.

Passo 2

Definimos a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}
e escolhemos o ponto (x_{0},y_{0})=(0,0). Mostraremos que existem duas curvas que dão o mesmo limite de f em zero, mas o limite geral não existe.]

Passo 3

Tomemos as curvas
\gamma_{1}(t)=(t,t), \qquad \gamma_{2}(t)=(t,-t),
com t\to0. Então
f\bigl(\gamma_{1}(t)\bigr) =\frac{t^{2}}{t^{2}+t^{2}} =\frac{1}{2}, \qquad f\bigl(\gamma_{2}(t)\bigr) =\frac{t^{2}}{t^{2}+(-t)^{2}} =\frac{1}{2}.
Logo
\lim_{t\to0}f\bigl(\gamma_{1}(t)\bigr) =\lim_{t\to0}f\bigl(\gamma_{2}(t)\bigr) =\tfrac12.

Passo 4

Agora aproximemo-nos de (0,0) pela curva y=0, isto é, pelo ponto (t,0). Então
f(t,0)=\frac{t^{2}}{t^{2}+0^{2}}=1
para todo t\neq0. Assim
\lim_{t\to0}f(t,0)=1\neq\tfrac12,
o que mostra que o limite de f(x,y) em (0,0) não existe, ainda que em duas curvas específicas ele valha \tfrac12.

Resposta

A afirmação é falsa, pois basta encontrar um contra­exemplo em que duas curvas deem o mesmo limite mas outras formas de aproximação deem valor diferente.

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