Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
13 x^2 y^prime+x(x+2) y=e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x^2y' + x(x+2)y = e^x,
que é uma equação linear. Para isso vamos usar o método do fator integrante e as fórmulas de equações lineares de 1ª ordem.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
y' + p(x)y = q(x)
Dividindo tudo por x^2, obtemos
y' + x(x+2)x^2,y = e^xx^2
ou seja
y' + l(1 + 2xr)y = e^xx^2
Aqui p(x)=1+2/x e q(x)=e^x/x^2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) pela fórmula
mu(x)=e^integral p(x),dx=e^integrall(1+2xr)dx=e^x+2ln|x|=e^x,x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão pelo fator integrante:
e^x x^2,y' + e^x x^2l(1+2xr)y = e^x x^2cdote^xx^2
O lado esquerdo é exatamente a derivada de mu(x)y:
ddxl(e^x x^2 yr)=e^2x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx(e^x x^2 y),dx = integral e^2x,dx Longrightarrow e^x x^2 y = 12e^2x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos y:
y = tfrac12 e^2x + Ce^x x^2 = e^x2x^2 + Ce^-xx^2

Passo 7

Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

y(x)=e^x2x^2 + C,e^-xx^2, onde C é constante de integração.

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