1"Ouestão(valor = 12)
Considerando a função
, pede-se:
3
a)Determinar o dominio e imagem de
;
b)Descrever as curvas de nivel de
c) Estabelecer a fronteira do dominio de
;
d) Especificar se o dominio de
ćaberto ou fechado, limitado ou ilimitado.
Considerando a função
3
a)Determinar o dominio e imagem de
b)Descrever as curvas de nivel de
c) Estabelecer a fronteira do dominio de
d) Especificar se o dominio de
Passo 1
Então, o exercício pede para a gente entender direitinho a função
O conteúdo é de funções de duas variáveis e, em especial, da função inversa do cosseno (arccos). A gente vai precisar lembrar duas coisas básicas sobre
:
- Seu argumento só faz sentido se estiver em
. - O valor de
varia de a .
Com isso em mente, vamos achar o domínio (quaisvalem), a imagem (quais valores pode assumir), as curvas de nível, a fronteira do domínio e dizer se esse domínio é aberto/fechado e limitado/ilimitado.
Passo 2
Para achar o domínio, impomos a condição de existência de
:
Isso nos diz que
ou seja, um “cinturão” (uma faixa) no plano.
Como sabemos que sempre que vale
, a imagem de
é
Como sabemos que sempre que
Passo 3
Curvas de nível são os lugares onde
fica igual a uma constante
. Então, fixando
, temos
Como
varia em
,
varia em
. Logo, cada curva de nível é uma reta
com inclinação
e “altitude” (intercepto em
) igual a
.
Passo 4
A fronteira do domínio é onde o argumento de
está exatamente em
ou em
. Isto é, as retas
ou de modo equivalente
Passo 5
Para decidir aberto ou fechado: nosso domínio usa as desigualdades com “
” e “
”, então ele inclui as retas da fronteira. Isso faz dele um conjunto fechado.
Quanto a limitado ou ilimitado: essa faixa de retas se estende para o infinito em todas as direções ao longo das retas, então é ilimitado.
Quanto a limitado ou ilimitado: essa faixa de retas se estende para o infinito em todas as direções ao longo das retas, então é ilimitado.
Resposta
Domínio:
(faixa fechada, ilimitada).
Imagem: .
Curvas de nível: retas , com
.
Fronteira: as linhas .
O domínio é fechado e ilimitado.
Imagem:
Curvas de nível: retas
Fronteira: as linhas
O domínio é fechado e ilimitado.