1"Ouestão(valor = 12)
Considerando a função f(x, y)=arccos (y-3 x), pede-se:
3
a)Determinar o dominio e imagem de f(x, y);
b)Descrever as curvas de nivel de f(x, y)
c) Estabelecer a fronteira do dominio de f(x, y);
d) Especificar se o dominio de f(x, y) ćaberto ou fechado, limitado ou ilimitado.

Passo 1

Então, o exercício pede para a gente entender direitinho a função
f(x,y)=arccos(y-3x),
O conteúdo é de funções de duas variáveis e, em especial, da função inversa do cosseno (arccos). A gente vai precisar lembrar duas coisas básicas sobre arccos:
  1. Seu argumento só faz sentido se estiver em [-1,1].
  2. O valor de arccos(t) varia de 0 a pi.
    Com isso em mente, vamos achar o domínio (quais (x,y) valem), a imagem (quais valores f pode assumir), as curvas de nível, a fronteira do domínio e dizer se esse domínio é aberto/fechado e limitado/ilimitado.

Passo 2

Para achar o domínio, impomos a condição de existência de arccos:
-1<= y-3x<= 1,
Isso nos diz que
D=(x,y)inR^2mid -1<= y-3x<= 1,
ou seja, um “cinturão” (uma faixa) no plano.
Como sabemos que sempre que tin[-1,1] vale 0<=arccos(t)<=pi, a imagem de f é
Im(f)=[0,pi],

Passo 3

Curvas de nível são os lugares onde f(x,y) fica igual a uma constante c. Então, fixando c, temos
arccos(y-3x)=cLongrightarrow y-3x=cos(c),
Como c varia em [0,pi], cos(c) varia em [-1,1]. Logo, cada curva de nível é uma reta
y=3x+cos(c),
com inclinação 3 e “altitude” (intercepto em y) igual a cos(c).

Passo 4

A fronteira do domínio é onde o argumento de arccos está exatamente em -1 ou em 1. Isto é, as retas
y-3x=-1e y-3x=1,
ou de modo equivalente
y=3x-1e y=3x+1

Passo 5

Para decidir aberto ou fechado: nosso domínio usa as desigualdades com “ <=” e “ >=”, então ele inclui as retas da fronteira. Isso faz dele um conjunto fechado.
Quanto a limitado ou ilimitado: essa faixa de retas se estende para o infinito em todas as direções ao longo das retas, então é ilimitado.

Resposta

Domínio: D=(x,y)mid -1<= y-3x<=1 (faixa fechada, ilimitada).
Imagem: [0,pi].
Curvas de nível: retas y=3x+cos(c), com cin[0,pi].
Fronteira: as linhas y=3xpm1.
O domínio é fechado e ilimitado.

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