Sejam S=t^2-1, t-2, t+3 e T=2 t^2+t, t^2+3, t bases ordenadas para P2. Sejam v=8 t^2-4 t+6 e w =7 t^2-t+9.
Siga as orientações de a) a f) do Exercício 15.
Qual é a matriz de mudança PS T da base T para a base S ?

Passo 1

O enunciado dá duas bases ordenadas de P2:
S=,t^2-1,;t-2,;t+3, T=,2t^2+t,;t^2+3,;t
Queremos a matriz de mudança de base
PST
tal que, para todo polinômio p, valha
[p]S = PST,[p]T
Isso significa que a j-ésima coluna de PST é justamente as coordenadas do j-ésimo vetor de T em relação à base S.

Passo 2

Expressamos o primeiro vetor de
Expandindo e comparando coeficientes em , e termo constante, obtemos o sistema
Daí segue e . Logo a primeira coluna é
.

Passo 3

Agora o segundo vetor de
que leva ao sistema
Resolvendo, achamos e . A segunda coluna é
.

Passo 4

Por fim o terceiro vetor de
levando ao sistema
Daí e . A terceira coluna é
.

Resposta

PST = 2 & 1 & 0 [6pt] tfrac15 & -tfrac45 & tfrac35 [6pt] tfrac45 & tfrac45 & tfrac25 ]

Exercícios relacionados